Question

Bütün kapalı aralıklar bütün açık aralıklara denk midir?

Comments

Sen bu doruda n(ler) düşündün/denedin yağmur_4848?

---

İpucu: http://matkafasi.com/120169/kumesinden-kumesine-tanimli-bijektif-bir-fonksiyon-bulunuz

Answer 1

Kanıtı kapalı sınırlı ve açık sınırlı aralıklar için yapalım. Aralıkların sınırsız durumları sana bırakalım @yağmur_4848.

$a<b$ koşulunu sağlayan her $a,b\in\mathbb{R}$ için $$[a,b]\sim (a,b)$$ olduğunun kanıtı bu linkte mevcut. Öte yandan $a<b$ ve $c<d$ koşulunu sağlayan her $a,b,c,d\in\mathbb{R}$ için $$(a,b)\sim (c,d)$$ olduğunu göstermek zor değil. Şöyle ki   $$f(x):=((a,c) \text{ ve } (b,d) \text{ noktasından geçen doğru denklemi})$$ (bunu sen bulabilirsin) kuralı ile verilen $$f:(a,b)\to (c,d)$$ fonksiyonunun bijektif olduğunu göstermek çok kolay. Demek ki $$(a,b)\sim (c,d).$$ Kümelerin sayısal denk olma ilişkisi geçişken bir ilişki (kanıtı burada mevcut) olduğundan $$[a,b]\sim (c,d)$$ elde edilir. Yani kapalı ve sınırlı bir aralığın açık ve sınırlı bir aralığa denk olduğu sonucuna ulaşırız. 

Aralıkların sınırlı olmadığı durumları da sen düşün @yağmur_4848.