$(H_{1}\times H_{2},\oplus,\odot)$ halka mıdır?

Question

$\left( H_{1},o,\ast \right)$ ve $\left( H_{2},\Delta ,\square \right)$ iki halka olsun.

$\left( x,y\right) ,\left( u,v\right) \in H_{1}\times H_{2}$ için 

$\left( x,y\right) \oplus \left( u,v\right) =\left( xou,y\Delta v\right)$ ve $\left( x,y\right)\odot \left( u,v\right) =\left( x\ast u,y\square v\right)$ olduğuna göre $(H_{1}\times H_{2},\oplus,\odot)$ yapısının bir halka olduğunu gösterin.

$\Delta$,$\square$ ve $\odot$ işlemi soruda verilmemiş ben bu işlemlerin neler yaptığını bilmiyorum nasil halka olduğunu gostermem gerekiyor.Degismeli grup oldugunu göstermeye kalktıgımda kafam karışıyor sıralı ikililerden oluştuğunun farkındayım mesela birim eleman ozelligini gostermem gerekirse 

$(H_{1}\times H_{2},\oplus)$

$\left( x,y\right) \oplus \left( e_{1},e_{2}\right) =\left( x,y\right)$ göstermeye kalktıgımda $\Delta$ işleminin ne yaptığını bilmiyorum.

Comments

$e_1$ ve $e_2$ nin özellikleri neydi?

---

$(e_1,e_2)\in H_1\times H_2$ olduğu belirtildiğine göre $e_1\in H_1,\ e_2\in H_2$ olması gerekmez mi?

Eşitlik neden geldi?

(Onlar halka olduğuna göre) $H_1$ ve $H_2$ nin (sorudaki $o$ ve $\Delta$ işlemlerine göre birim elemanları var olmalı. Bu  birim elemanlardan oluşan ikili de $H_1\times H_2$ nin $\oplus$ işlemine göre birim (etkisiz) elemanı olmak için en doğal aday değil mi?

---

Hocam şimdi gayet iyi anladım ama ben $\odot$ işlemine göre Halka aksiyomlarindan 2.isleme gore birleşmeyi ve dağılma özelliğini nasıl gösterebilirim?

---

$H_1$ ve $H_2$ birer halka olduklarına göre $H_1\times H_2$ de aradığın her özellik onlarda var olmalı.

---

Hocam $H_1$ ve $H_2$ birer halka ise $(H_{1}\times H_{2})$ halkadır dedim ve $(H_{1}\times H_{2},\oplus)$ Değişmeli grup olduğunu göstermeye çalıştım Kapalılık, Birleşme aksiyomlarını gösterdim(ilk satırda dediğim cümle ile) ama Birim elemana geldiğim de

$\left( x,y\right) \oplus \left( e_{1},e_{2}\right) =\left( x,y\right)$         (  $x,e_1\in H_1$ ve $y,e_2\in H_2$ )olmalı dedim ve şu sonuca vardım 

$x\circ e_{1}=x$    $y\Delta e_2=y$ Sorum şu burada $e_1$  $e_2$ nasıl bulabilirim hade onu buldum $(H_{1}\times H_{2},\odot)$ yapıda $\odot$ işlemine göre Birleşmeyi ve Dağılmayı nasıl gosterim ki $\odot$ hakkında hiç bilgim yok?

---

$H_1$ ve $H_2$ halka değil miydi? Onların birim elemanları yok mu?

---

O zaman $(H_{1}\times H_{2},\oplus)$ yapısının birim elemanı $(e_1,e_2)$ 

---

 $\odot$ işlemine göre Birleşmeyi ve Dağılmayı nasıl gosterebilirim? $\odot$ hakkında hiç bilgim yok?

---

$H_1,\circ,*)$ bir halka olduğuna göre $*$ işleminin $\circ$ işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.

$H_2,\Delta,\square)$ bir halka olduğuna göre $\square$ işleminin $\Delta$ işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.

Bunları ve $\oplus$ ve $\odot$ işlemlerinin tanımın kullanarak gösterebilirsin.

Göstermen gereken eşitliğin her iki tarafındaki işlemleri $\circ,*,\Delta,\square$ cinsinden yazarsan görebilirsin.

---

Hocam degismeli grup olduğunu söyledikleriniz doğrultusunda anlayarak gosterdim.(Soruyu tam olarak çözdüğümde cevap kismina paylaşacam.)

Hocam dağılmayı göstermeden önce $(H_1×H_2, \odot)$ yapısının birleşme özelliğini gösterdiğimde $(x,y),(u,v),(m,n)\in H_1×H_2$ diyorum.($x,u,m\in H_1$ ve $y,v,n\in H_2$)

Şimdi göstermeye çalıştığımda 

$(x,y)\odot((u,v)\odot(m,n))$ burada $\odot$ işleminin ne yaptığı soruda verilmemiş, şöylemi demem lazım $H_1$ ve $H_2$ birer halka ise $H_1×H_2$ halka olduğundan $(H_1×H_2,\odot)$ yapısında birleşme özelliği mevcut olup $(x,y)\odot((u,v)\odot(m,n))=((x,y)\odot(u,v))\odot(m,n)$ demem yeterli mi? ($x,u,m\in H_1$ ve $y,v,n\in H_2$)

---

Hocam şimdide $(H_1×H_2,\oplus,\odot)$  $\odot$ işleminin $\oplus$ işlemi üzerine dağılmaya bakim.

İlk önce $H_1$ ve $H_2$ halkalarının dagilma ozelliklerine baktım ama ordan bir çıkarım olmadi sanki şöyle  $x,y,z\in H_1$

$x * (y\circ z)=(x * y)\circ (x * z)$

$(x\circ y) * z=(x * z)\circ(y * z)$.

 $x,y,z\in H_2$

$x\square (y \Delta z)=(x\square y)\Delta (x\square z)$

$(x\Delta y)\square z=(x\square z)\Delta (y\square z)$

(Bunlar benim nerde işime yaricak?)

Şimdide $(H_1×H_2,\oplus,\odot)$ $\odot$ işleminin $\oplus$ işlemi üzerine dağılmasını gosterim?

$(x,y),(u,v),(m,n)\in H_1×H_2$ $(x,u,m\in H_1)$ ve $(y,v,n\in H_2)$ 

Soldan dağılma 

$(x,y)\odot((u,v)\oplus (m,n))=((x,y)\odot (u,v))\oplus ( (x,y)\odot (m,n) )$ işte burada $\oplus$ işleminin ne yaptığını biliyorum ama uygulayamıyorum şöyle

$( (x,y)\circ (x,y) , (u,v)\Delta (m,n) )$ burda $\circ$ biliyorum onuda uygulayim 

$((x * x , y\square y),(u,v)\Delta (m,n))$(Tıkandığım yer.)

---

Dogan Hocam soruyu yanlis yazmışım kusura bakmayın bende gunlerdir bakıyordum simdi düzelttim yarın cevaplamış olucam yardımlarınız için çok teşekkür ederim

Answer 1

1 ) $\left( H_{1}\times H_{2},\oplus \right)$ yapısı Değişmeli bir grup mudur?

i ) $\left( x,y\right) ,\left( u,v\right) \in H_{1}\times H_{2}$ alalım.

    $\left( x,y\right) \oplus \left( u,v\right) \in H_{1}\times H_{2}$ bakalım(?) ($x,u\in H_{1}$ ve $y,v\in H_{2}$)

    $\left( x,y\right) \oplus \left( u,v\right) =\left( x\circ u,y\Delta v\right)$ olduğuna göre Kapalıdır.

ii ) $\left( x,y\right) ,\left( u,v\right) ,\left( m,n\right) \in H_{1}\times H_{2}$ alalım.

     $\left( x,y\right) \oplus \left( \left( u,v\right) \oplus \left( m,n\right) \right) =\left( \left( x,y\right) \oplus \left( u,v\right) \right) \oplus \left( m,n\right)$ (?)   ($x,u,m\in H_{1}$ ve $y,v,n\in H_{2}$)

     $\left( x,y\right) \oplus \left( u\circ m,v\Delta n\right) =\left( x\circ u\circ m,y\Delta v\Delta n \right) =\left( \left( x\circ u\right) \circ m,\left( y\Delta           V\right) \Delta n\right)=\left( \left( x,y\right) \oplus \left( u,v\right) \right) \oplus \left( m,n\right)$ olduğundan Birleşme özelliği sağlanır.

iii )$\left( x,y\right) ,\left( e_{1},e_{2}\right) \in H_{1}\times H_{2}$ alalım. ($x,e_1\in H_1$ ve $y,e_2\in H_2$)

     $\left( x,y\right) \oplus \left( e_{1},e_{2}\right) =\left( x,y\right)$

     $\left( x\circ e_{1},y\Delta e_{2}\right) =\left( x,y\right)$ olduğundan $x\circ e_{1}=x$ ve $y\Delta e_{2}=y$ olmak üzere $\left( H_{1}\times H_{2},\oplus \right)$ yapısının Birim elemanı $(e_1,e_2)$ dir.

iv ) $\left( x,y\right) \in H_{1}\times H_{2}$ için $\left( x,y\right) \oplus \left( x^{'},y^{'}\right) =\left( e_{1},e_{2}\right)$ olacak şekilde $\exists \left( x^{'},y^{'}\right) \in H_{1}\times H_{2}$ vardır.(?)

      $\left( x,y\right) \oplus \left( x^{'},y^{'}\right) =\left( e_{1},e_{2}\right)$

      $\left( x\circ x^{'},y\Delta y^{'}\right) =\left( e_{1},e_{2}\right)$

      $x\circ x^{'}=e_1$

      $y\Delta y^{'}=e_2$ olduğundan yapının Ters elemanı $(x^{'},y^{'})$

v ) $\left( x,y\right) ,\left( u,v\right) \in H_{1}\times H_{2}$ alalım. $(x,u\in H_1$ ve $y,v\in H_2)$

      $\left( x,y\right) \oplus \left( u,v\right)$=$\left( u,v\right) \oplus \left( x,y\right)$ (?)

      $\left( x\circ u,y\Delta v\right)$=$\left(u\circ x,v\Delta y\right)$= $\left( u,v\right) \oplus \left( x,y\right)$ olduğundan Değişme özelliği sağlar.

Değişmeli Grup Olduğunu Gösterdik.Şimdi Halka Olma Aksiyomlarından 2) $\odot$ İşlemine Göre Birleşmelimi? 3) $\odot$ İşleminin $\oplus$ İşlemi Üzerine Dağılma Özelliğine Bakalım.

2 ) $\left( x,y\right) ,\left( u,v\right) ,\left( m,n\right) \in H_{1}\times H_{2}$ alalım. (($x,u,m\in H_{1}$ ve $y,v,n\in H_{2}$)

      $\left( x,y\right) \odot \left( \left( u,v\right) \odot \left( m,n\right) \right)$=$\left( x,y\right) \odot \left( u\ast m,v\square n\right)$=$\left( x\ast u\ast m,y\square v\square n\right)$=$\left( \left( x\ast u\right) \ast m,\left( y\square v\right) \square n\right)$=$\left( \left( x,y\right) \odot \left( u,v\right) \right) \odot \left( m,n\right)$ olduğundan Birleşme özelliğini sağlar.

3 ) $\left( x,y\right) ,\left( u,v\right) ,\left( m,n\right) \in H_{1}\times H_{2}$ alalım. ($x,u,m\in H_{1}$ ve $y,v,n\in H_{2}$)

      $\left( x,y\right) \odot \left( \left( u,v\right) \oplus \left( m,n\right) \right)$=$\left( x,y\right) \odot \left( u \circ m,v\Delta n\right)$=$\left( x\ast u \circ m,y\square v\Delta n\right)$=$(\left( x\ast m\right) \circ u,\left( y\square n\right) \Delta v)$=$\left( \left( x,y\right) \odot \left( m,n\right) \right) \oplus \left( \left( x,y\right) \odot \left( u,v\right) \right)$ olup Dağılma özelliği vardır.

Yukarıdaki 1) 2) 3) aksiyomları sağlandığından $( H_{1}\times H_{2},\oplus ,\odot)$ yapısı bir Halkadır.