AÜMO-2007 Sorusu

Question

Pozitif gerçek sayıların sonlu bir kümesi verilsin. Bu kümeden alınmış herhangi $a, b$ ve $c$ sayıları için $\dfrac{\mid a-b\mid}{c}$ sayısı da kümenin elemanı ise, söz konusu kümeye "iyi küme" diyelim.

Örneğin $\left\{\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{3},1\right\}$ 3 elemanlı iyi bir kümedir. Herhangi iyi bir kümenin eleman sayısının üçten fazla olamayacağını gösteriniz.

Ben ispatlamak için çelişki yöntemini kullanmaya çalıştım. 4 elemanlı bir kümenin iyi bir kümenin olamayacağını gösterirsem 4'ten büyükler içinde göstermiş olabileceğimi düşündüm (emin değilim ama). Ama 4 elemanlı iyi küme olamayacağını gösteremedim nasıl bir yol izlemeliyim acaba ?

Comments

4 eleman varsa, kümenin özelliğin kullanarak yeni elemanlar üretmeyi deneyebilirsin. 

Küme sonlu olmasına bir çelişki bulmayı deneyebilirsin.

Answer 1

$n\in N^+$ olmak üzere "iyi " kümenin eleman sayısının  üçten fazla olduğunu ve her biri pozitif reel sayı olan ,$x_1,x_2,x_3,x_4,...,x_n$  şeklindeki $n>3$  tane elemandan oluştuğunu kabul edelim. Ayrıca bu elemanların $0<x_1<x_2<...<x_n$ şeklinde sıralı olduğunu da düşünelim. Bunu böyle düşünmemizin "iyi" küme tanımına aykırı olmadığı açıktır.

Bu kümeden $\binom{n}{2}$  sayıda farklı ikililer seçebiliriz. O halde ($1\leq i,j \leq n$), $i\neq j$ olmak kaydıyla $|x_i-x_j|$ lerin sayısı $\binom{n}{2}$ kadardır. O zaman elimizde  $n-2$ adet $\frac{|x_i-x_j|}{x_k}$ şeklinde birbirinden farklı kesir var demektir. ($i \neq j\neq k\neq i)$. Bu $(n-2)$ kesirlerinin her biri bizim "iyi" kümemizin elemanı olmak zorundadır.

Demek ki $\binom{n}{2}.(n-2)\leq n\Rightarrow \frac{n.(n-1)}{2}.(n-2)\leq n\Rightarrow (n-1)(n-2)\leq 2\Rightarrow n(n-3)\leq 0\Rightarrow n\leq 3$   elde edilir.

Comments

Hocam elimizdeki kesirli sayıların sayısını nasıl $\dfrac{|x_i-x_j|}{x_k}.(n-2)$ bulduk bunu anlayamadım. Bir de biz bu kesirli sayıların farklı olduğunu nerden biliyoruz ?

---

$n$ tane elemandan kaç tane ikili seçebiliriz? $\binom{n}{2}$ kadar değil mi? geriye seçilmeyen $n-2$ eleman kalmaz mı? Bunları da değişik olarak paydaya yazarsak  $\frac{|x_i-x_j|}{x_k}$ şeklinde oranlardan kaç tane olur?$n-2$ tane. Demek ki elimizde "iyi" küme tanımına uygun olarak yazabildiğimiz ve her biri verilen kümedeki bir elemana eşit olması gereken $n-2$ adet $\frac{|x_i-x_j|}{x_k}$  yeni oran var. 

Mesela bir ikili seçimde, $x_{1923},x_{1881}$  elemanları seçilmiş olsun. Burada indisi büyük olanın daha büyük olduğunu biliyoruz. Zaten de mutlak değere alıyoruz. Şimdi bu iki elemanın farkının mutlak değerini indisi bunlarınkinden farklı olan herhangi bir elemana bölmeliyiz. Mesela $x_1$ 'e bölelim. $\frac{|x_{1923}-x_{1881}|}{x_1}$ olur. İstersek $x_2$ 'ye de bölebiliriz. O zaman da $\frac{|x_{1923}-x_{1881}|}{x_2}$ olur.İstersek $x_3,x_4,...,x_n$ 'e bölebiliriz. Yalnız $x_{1923}$' e ve $x_{1881}$' e bölemeyiz. Peki payları aynı olan fakat paydaları farklı olan bu kesirlerden kaç tane var acaba? Ve bunlardan birbirine eşit olan var mı? 

---

Payları aynı paydaları farklı kesirlerden $n-2$ tane var ve bunlardan birbirine eşit olanlar yok çünkü pay sabit ve paydaya farklı değerler geliyor. Fakat biz $|x_i-x_j|$lerin sayısı olan $\dbinom{n}{2}$ ile $(n-2)$yi çarpınca elimize aynı sayılar geçebilir. Nitekim $x_3-x_2=x_5-x_4$ alırsak $\dfrac{x_3-x_2}{x_1}=\dfrac{x_5-x_4}{x_1}$ olmaz mı ?

---

Paydaları farklı ise nasıl eşit olurlar?

---

$x_1=1$, $x_2=2$, $x_3=3$, $x_4=4$, $x_5=5$ olursa

$\dfrac{x_4-x_2}{x_1}=\dfrac{x_5-x_1}{x_2}$ yaparak hem paydaları farklı hemde eşit yapabiliriz.