$\underbrace{a^{x_1}+a^{x_2}+...+a^{x_a}}_\text {a tane}=a^y$ denklemi

Question

   $a\ne 0$  bir doğal sayı  ve a nın kuvvetleri doğal sayı olmak üzere $a^{x_1}+a^{x_2}+...+a^{x_a}=a^y$ denklemini doğal sayilarda çözünüz.

                         

Comments

Birkaç sorum var, tam olarak emin olamadığım.

1. $x_a$ derken kullandığımız $a$, tabanda kullandığımız $a$ ile aynı mı? Yani $a= 2$ için $$2^{x_1} + 2^{x_2} = 2^y$$ denklemini ve $a = 3$ için $$3^{x_1} + 3^{x_2} + 3^{x_3} = 3^y$$ denklemini mi çözüyorum?
2. Bu denklemi cozun derken olası bütün $(x_1, \ldots, x_a, y)$ doğal sayı $a+1$lilerini mi arıyorum? Mesela $a = 2$ için $(0,0,1)$ ve $(1,1,2)$ üçlüleri birer çözüm mü?

---

Her iki sorunuz için de evet Özgür hocam.

Answer 1

$x_1=x_2=...=x_a=n$      olsun

$\underbrace{a^{n}+a^{n}+...+a^{n}}_\text{a tane}=a^y$

$aa^{n}=a^y$

$a^{n+1}=a^y$

$y=n+1$

$a=2$ icin $\{(0,0,1),(1,1,2),(2,2,3),...\}=\{(k,k,k+1):k\in \mathbb{N}\}$

$a=3$ icin $\{(0,0,0,1),(1,1,1,2),(2,2,2,3),...\}=\{(k,k,k,k+1):k\in \mathbb{N}\}$

Comments

Aslında aradığım verdiğiniz durum dışında çözümlerin olup olmadığı.

---

$x_a=\max\{x_1,\ldots,x_a\}$ olsun. ($a>1$ için) hepsi eşit değil ise.

$a^{x_a}<a^{x_1}+a^{x_2}+\cdots+a^{x_a}<a\cdot a^{x_a}=a^{x_a+1}$ 

 olduğu için  başka çözüm olamaz.

---

Evet Hocam teşekkürler. Taban çift iken bahsedilenden başka çözüm olamayacağını görmüştüm fakat taban tek iken başka çözüm olmadığını nasıl kanıtlayacağımı görememiştim.

---

Genel durum için modülo $a$  da denklemi çözmeye çalıştığımızda $x_1=x_2=...=x_a$  olduğunu görüyoruz.

Answer 2

Genelliği bozmadan $x_1\le x_2\le...\le x_a$  olduğunu varsayalım. Eşitliği $$1+a^{x_2-x_1}+...+a^{x_a-x_1}=a^{y-x_1}$$   şeklinde yazalım. Bu eşitliğin  modülo $a$ da çözümünün olması için  $x_1=x_2=...=x_a$  ve sonuç olarak $y=x_1+1$  olmalıdır.