Paydası, çift ve tek olan faktöriyel serilerinin limiti

Question

$\sum ^{\infty }_{n=0}\left( \dfrac {1}{\left( 2n+1\right) !}\right) =e-2+\cos(1)-$ $\dfrac{1}{4!}$

$\sum ^{\infty }_{n=0}\left( \dfrac {1}{\left( 2n\right) !}\right) =2-\cos(1)+$ $\dfrac{1}{4!}$

Yakında kanıtlarını paylaşacağım..

Comments

Kategori lisans olmalı.

---

Değiştiriyorum hocam

---

Bunların doğruluğuna emin misin Arda Kılıç? cos yerine cosh olmasın? (öyle olunca da doğru görünmedi bana)

---

%3 hata payını göz önüne almazsak doğru hocam, nümerik analiz kullandım biraz hata payı için yarın nasıl kanıtladığımı paylaşacağım.

---

Bunları tam olarak hesaplamak mümkün (ve kolay). O daha iyi olmaz mı? 

---

$\dfrac{1}{(2n)!}$ serisini hesaplamak için  $e^x$  seri açılımında  $x=\mp1$  yazmak yeterli oluyor.

---

Sadece farklı bir yaklaşım denedim

---

Yaklaşımınızı paylaşır mısınız?

Answer 1

$\sum ^{\infty }_{n=0}\dfrac {1}{\left( 2n+1\right) !}=\dfrac {1}{1!}+\dfrac {1}{3!}+\ldots$ serisini hesaplamak için ilk önce aklıma "$e^x$"in seri açılımını kullanmak geldi uygulayınca;

$\sum ^{\infty }_{n=0}\dfrac {1}{\left( 2n+1\right) !}-e=-1-\dfrac{1}{2!}-\dfrac{1}{4!}-...$ şimdi ise buradaki -son yazdığım- seri ile ilgili $cos(x)$ açılımı gördüm. $\sum ^{\infty }_{n=0}\dfrac {1}{\left( 2n+1\right) !}-e=-1+\cos \left( 1\right) -1+( \dfrac {1}{4!}+\dfrac {1}{8!}+\ldots)$ ardından parantez içindeki öbeği ayrı incelemek için ona $-I(x)$ dedim.

 $-I(x) = ( \dfrac {x}{4!}+\dfrac {x}{8!}+\ldots)$ eğer "$-I(x)$"i $4!$ ile çarparsak şu şekle dönüşür; $-4!I(x) = ( x+\dfrac {4!x}{8!}+\ldots)$ olur şimdi $x=1$ yazalım  $4!I(1) = ( 1+\dfrac {4!}{8!}+\ldots)$ ve sona yaklaşırken bu fonksiyonda limit alırsak "sezgisel" olarak 1'den sonrasının 0'a yaklaşacağını görebiliriz.$-4!I(x)=1$ son hali olarak kalan durum böyle olur ve doğrudan $I(x)=-\dfrac{1}{4!}$'dir. Eğer en başa dönersek $\sum ^{\infty }_{n=0}\dfrac {1}{\left( 2n+1\right) !}-e=-2+\cos \left( 1\right)-\dfrac{1}{4!}$ düzenlersek; $\sum ^{\infty }_{n=0}\dfrac {1}{\left( 2n+1\right) !}=e-2+\cos \left( 1\right)-\dfrac{1}{4!}$ olarak buunur

Comments

$cosx$ seri açılımı alternedir; artı eksi diye değişerek

gider. Anladığım siz terimleri aynı işaretli almışsınız. Hiperbolik bir şeyler çıkmalı sanırım. 

---

Aslında $cosx$ açılımındaki "-"leri ayrı aldım "+"ları ayrı aldım yani "benzettiğim seri ile örtüşen kısım" ile örtüşen kısmı aldım ile yarayan kısmı alıp diğer kısmını ayrı hesapladım. O kısım da zaten $"(-\dfrac{1}{2!}-\dfrac{1}{6!}-...)"$ kısmı kalan kısım ise pozitif kısım yani  $"(\dfrac{1}{4!}+\dfrac{1}{8!}+...)"$ ikisini birleştirdiğimiz zaman $cos(1)-1$ oluyor.

---

"sezgisel" olarak 1'den sonrasının 0'a yaklaşacağını görebiliriz.

Tam doğru değil. Terimler 0 a yaklaşıyor ama toplam değil. Toplamı pozitif bir sayı olur.

Tüm yakınsak serilerde terimler 0 a yakınsar ama toplamları 0 dan farklı olabilir.

Bir seride terimleri bir yere kadar toplarsak toplama yaklaşık bir değer buluruz ama bu yaklaşık değerde ne kadar hata olduğunu hakkında bir fikrimiz yoksa pek işe yaramaz.

---

Elbet, her birinize katkılarınız için teşekkür ederim; nitekim üstünde birtakım çalışmalar daha yapıp daha doğru bir seri bulunabilir öyle değil mi?

Answer 2

Çözüm için  $e^x$  serisinin Maclaurin açılımını kullanalım ve  $x=1$  ve  $x=-1$  yazalım. Buna hakkımız var çünkü  yakınsaklık yarı çapı  $-\infty\lt x \lt \infty$  aralığıdır: $$e=1+1+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+\dfrac{1}{4!}+...$$   $$e^{-1}=1-1+\dfrac{1}{2!}-\dfrac{1}{3!}+\dfrac{1}{4!}-...$$ Bu iki eşitliği taraf tarafa toplarsak $$\sum ^{\infty }_{n=0}\left( \dfrac {1}{\left( 2n\right) !}\right)=1+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{4!}+...=cosh(1)\approx 1,54$$   ve çıkartırsak $$\sum ^{\infty }_{n=0}\dfrac {1}{\left( 2n+1\right) !}=1+\dfrac{1}{3!}+\dfrac{1}{5!}+...=sinh(1)\approx 1,75$$   değerlerini elde ederiz.