Karekökün karesi mi mutlak değerdir yoksa tam zıttı mı?

Question

Köklü sayılarda kafamı karıştıran bir durum,

$\sqrt{a^2}$ ve $\sqrt{a}^2$ ikilisinin farkları nelerdir?

1.sinde negatif de yazabiliriz pozitif de ama sonuç $a$ mı yoksa $|a|$ mı?

2.sinde pozitif yazabiliriz ama sonuç kare çıkacağı için $|a|$ mı?

Comments

bir kac negatif ve pozitif sayi koyarak denediniz mi ... sonra daha formal olarak gosterebilirsiniz saniyorum.

bu arada kök icine negatif yazilmayacagini dusunebiliriz

---

$\sqrt a^2=\sqrt{a^2}=|a|$ dır.

---

Evet dediğiniz işlemi denedim ancak ikisininde grafiği x ekseni üzerinde (ikisi de mi mutlak değer?) ve pozitif sayıların 2 karekökü olmasına rağmen mutlak değer neden yapıyoruz, onu anlamadım mesela.

$a=2$,  $a^2=4$, $\sqrt{a^2}=-2,+2$

$a=2$, $\sqrt{a}=-\sqrt{2},+\sqrt{2}$, $\sqrt{a}^2=2$

$a=-2$, $a^2=4$, $\sqrt{a^2}=-2,+2$

$a=-2$, $\sqrt{a}=i\sqrt{2}$, $\sqrt{a}^2=-2$

$a=|-2|$, $\sqrt{a}=\sqrt{2}$, $\sqrt{a}^2=2$

Görüldüğü üzere a pozitif veya negatif ise sonuç hem negatif hem de pozitif çıkabilir.

Ancak ilk olarak kare sonra kök alınırsa 2 sonuç, ilk olarak kök sonra kare alınınca da sonuç asıl sayı çıkıyor. (imajiner sayının diğer kökünü yazma gereği duymadım)

---

Ayrıca mutlak değer özelliklerinde şöyle birşey var;

$|a|^n=|a^n|$

bu her $n$ reel sayısı için geçerli değildir değil mi, çünkü $n=1/2$de grafikler farklı oluyor

---

Hemen şunu belirtmem gerekiyor. $\sqrt{4}=\pm2$ değil sadece $2$ dir.

$\sqrt{x^2}=|x|$ dir. Bu da x<0 iken $|x|=-x$ , $x\geq 0$ iken $|x|=x$ dir.  Ayrıca $x^2=a$ ise $a\geq 0$ dır. Yani kök kuvveti 2,4,6,.. gibi çift bir tam sayı ise kökün içinde negatif bir sayı olamaz.  yazdıklarınızdan bazıları; $a=2,a^2=4,\sqrt{a^2}=-2,+2$ yanlıştır.  Karekök içindeki bir sayı dışarı ASLA negatif olarak çıkmaz. Yani$\sqrt4=-2,+2$ yanlıştır. Sadece $\sqrt4=2$ dir. 

"Görüldüğü üzere a pozitif veya negatif ise sonuç hem negatif hem de pozitif çıkabilir." ifadesi yanlıştır. Sayı ister negatif isterse pozitif olsun, karesi alınıp karekökü alındığında dışarı pozitif çıkar. 

$|a|^n=|a^n|$  deki $n$ (sanıyorum ) tam sayı.

---

Peki neden yanlış olduğunu sormayacağım çünkü hem bu sitede hem de başka sitelerde bunun üzerine ifadeler gördüm, -2 nin karesi 4 iken 4 ün karekökü -2 olamaz. Herhâlde fonksiyon olabilmesi için x'in 2 farklı değere gitmemesi lazım diye düşünüyorum

---

Öyle değil. Sadece $a\geq 0$ iken $\sqrt a\geq 0$ olmasındandır.

---

Karekök uygulamasının bir fonksiyon belirtmesini istiyoruz. Çünkü o zaman kare alma fonksiyonunun tersi karekök alma fonksiyonudur diyebiliriz. Ama kare alma fonksiyonu birebir bir fonksiyon değil. Mesela $-2$ ile $2$ aynı sayıya gidiyorlar. Dolayısıyla bu fonksiyonun tersini oluşturmak istiyorsak $4$'ün gönderileceği yeri seçmemiz lazım. Zira bir fonksiyon bir sayıyı birden fazla bir yere götüremez. $4$'ü nereye götüreceğiz? $2$'ye mi yoksa $-2$'ye mi? Hangisini istersen. Istersen $4$ için $-2$'yi, $9$ için $+3$'ü seç. Her sayı için böyle teker teker seçme yerine demişiz ki: "Sadece pozitif olanları seç, tek tek seçmekle uğraşma. Herkes kimin ne seçtiğini bilsin. Hem de eğer bu seçimi bu şekilde yaparsak, elde ettiğimiz fonksiyon surekli, turevlenebilir falan oluyor, harika. "

---

Emin değilim  Mehmet Toktaş çünkü ilk cevabınızda iki denkleminde sonucunun mutlak a olduğunu belirttiniz ancak grafik olarak sadece ikincisi mutlak a'ya eşit (birincisinde de f(a) pozitif ama a da pozitif, bu da mutlak a grafiğinin sağ yarısı)

---

Özgür bey ziyadesiyle açıklamış. Ben de şunları ekleyeyim:

$$f(x)=x^2$$ kuralı ile verilen $$f:[0,\infty)\to [0,\infty)$$ fonksiyonu ile $$g(x)=x^2$$ kuralı ile verilen $$g:(-\infty,0]\to [0,\infty)$$ fonksiyonunu ele alalım. Karekök fonksiyonu $(\sqrt{ \cdot })$ yukarıda verdiğimiz -birebir ve örten olan- $f$ fonksiyonunun tersi olarak tanımlanır. Yani $$\sqrt{x}:=f^{-1}(x)$$ kuralı ile verilen $$\sqrt{\cdot}:[0,\infty)\to [0,\infty)$$ fonksiyonuna karekök fonksiyonu denir. 

Öte yandan yukarıda verdiğimiz $g$ fonksiyonu da birebir ve örtendir fakat bu $g$ fonksiyonunun tersi

$$g^{-1}(x)=-\sqrt{x}$$ kuralı ile verilen $$g^{-1}: [0,\infty)\to (-\infty,0]$$ fonksiyonudur.