$(A,\preceq)$ poset (Partially Ordered SET) olsun. Üstten sınırlı $\forall B \subseteq A$ ve $B \neq \emptyset$ kümesinin eküs'ü vardır $\Leftrightarrow$ alttan sınırlı $\forall B \subseteq A, B \neq \emptyset$ kümesnin ebas'ı vardır.

Question

ilk önermeye p, ikincisineyse q dedim ve p yi doğru kabul ettim.

o zaman alttan sınırlı $B \neq \oslash$ ve $B\subseteq A$ B kümesinin ebas'ının olduğunu göstermem gerek

B alttan sınırlı olduğu için $\forall x \in B$ için $a \le x$ tir.

o zaman as(B)'ye B'nin tüm alt sınırlarının kümesi dersek $as(B) \neq \oslash$

şimdi B'nin boştan farklı ve üstten sınırlı her alt kümesinin eküs'ünün olduğunu kabul etmiştik  yani B nin her elemanının as(B)'nin üst sınırı olduğunu söyleyebiliriz ama as(B)'nin elemanları da B'nin elemanı değil mi? burada kafam karıştı. birden fazla alt sınır varsa napacağız?

sorum anlaşılmamış olabilir neyi  anlamadığımı bile tam olarak anlayamadım aslında

Comments

Gostermek istedigine $C$ dersen daha iyi olur sanki. Daha az kafan karisir.

---

anlayamıyorum 

her bir öğe alt sınır kümesinin üst sınırı olduğu için küme üstten sınırlı yani eküs'ü var sonra nasıl ebas ile ilgli bir yorum yapabilirim ki

---

Soyle dusun. Gercel sayilar icin supremum ve infimumu ele alalim. 

Ustten sinirli kumelerin supremumu oldugunu kabul ederek alttan sinirli kumelerin infimumunun varligini gosteriyoruz. Tersi de dogru. 

Ilk olarak bunu deneyebilirsin. 

---

teşekkürler yaptım sanırım

---

Ispati yapinca paylasirsan seviniriz. 

---

$\Rightarrow$  $B\subseteq A$, $B\not= \oslash$ B alttan sınırlı olduğu için $\forall x\in B$ $a \le x$ olur.

B'nin tüm alt sınırlarının kümesi C olsun. $C \not= \oslash$ 

o halde B'nin her elemanı C için bir üst sınırdır ve p önermesini doğru kabul ettiğimizden eküs(C) vardır.

L=eküs(C) olsun.

L alt sınırlarının eküs'ü olduğundan $\forall b \in B$ için  $L \le B$  dir. L, B kümesinin ebas'ı olur.

$\Leftarrow$  $B\subseteq A$, $B\not= \oslash$ B üstten sınırlı olduğu için $\forall x\in B$ $x \le a$ olur. 

B'nin üst sınırlarının kümesine K diyelim, $K\not= \oslash$

B'nin her öğresi K için alt sınırdır. q yu doğru kabul ettiğimiz için ebas(K) vardır.

ebas(K)=$\hat{L}$, $\hat{L}$ üst sınırların en büyük alt sınırı olduğundan $\forall b \in B$ için $b \le \hat{L}$'dir. $\hat{L}$ bir ebas' tır.

---

 ilk ispat kisminin son cumlesinden cikan sonuc L bir alt siniridir olmali. Ebas oldugu icin birkac cumle daha sarf etmek gerekli gibi?

---

L C'nin eküs'ü dolayisiyla C yani alt sınırlar kümesindeki herhangi bir elemandan daha büyük. bu yetmiyor mu?

---

O zaman aradaki $\forall b\in B$ ...'yi neden yazdin :)

Aslinda bir sekilde yetiyor.
Bu sorunun/onermenin zor yani, ara gecislerin kolay olmasi. Bu nedenle aciklamalarin abartili sekilde aciklamak gerekiyor, bence.

Dedigim gibi aradaki ifadeden cikacak sonuc (tanim geregi) $L$ bir alt sinirdir, degil mi?