diferansiyel-operatör

Question

$H=l_{2}(0,\pi)$    $T=\frac{d^{2}}{dx^{2}}$ operatörünün sınırlı olup olmadığını gösteriniz.Burada 

$D(T)={y(x) \in C^{\infty}[0,\pi] \quad  y(0)=y(\pi)=0}$ dir.

-----------------

$T: D(T) = { y(x)\in C^{\infty}[0,\pi], y(0)=y(\pi)=0}$

$y(x) \rightarrow Ty(x)=-y''(x)$  

$x\in[0,\pi]$

şimdi burada operatörün lineer olduğunu bilmiyoruz , o halde bilelim! 

$y,z \in D(T)$  $\alpha , \beta$ skalerler olmak üzere $T(\alpha y + \beta z) = \alpha Ty + \beta Tz$

olduğunu gösterelim.

$x \in [0,\pi]$ için  $T(\alpha y + \beta z)(x) = -(\alpha y + \beta z )^{''}(x)=-\alpha y^{''}(x)-\beta z^{''}(x)=\alpha Ty(x)+ \beta T(z)$

lineer bir operatör aldığımızda sınırlı $\iff$ süreklidir. 

O halde sürekli olduğunu göstermek yeterlidir.

$y(x) \in C^{\infty} [0,\pi]$ olduğundan ikinci mertebeden her zaman türevi vardır. $x\in [0,\pi]$ aralığında türevli ise süreklidir.Dolayısıyla sınırlıdır.(izninizin olduğu taktirde gelecek olan çözüm ile  karşılaştırmak istediğim çözüm)

Comments

Bu çözümde bir karışıklık olmuş herhalde.

Sınırlı olduğunun gösterilmesi istenen şey $Ty$ değil $T$ operatörü. 

(Operatörün sınırlı olması için) Her $y$ için, $\left\| Ty\right\|\leq M\left\| y\right\|$ olacak şekilde bir $M\in\mathbb{R}$ bulmak gerekiyor.

---

kuvvetle muhtemel hocam , emin olmamak ile birlikte yazdım.Tekrardan yanıtlayacağım.Teşekkür ederim.

---

kadrkoparan,

Bu uzayda bazı (sonsuz çoklukta olsa daha iyi) fonksiyonlar bulup $\left\|y\right\|$ ve $\left\|Ty\right\|$ yi hesaplamayı denedin mi?

---

hayır hocam denemedim , kısa süre içerisinde ilgileneceğim.