$e^{i\pi}+1=0$ Formülü hakkında açıklamalar

Question

$e^{i\pi}+1=0$ formülü hep ilgimi çeken bir halde olmuştur ve Matematikte "güzel" olarak adlandırdığım bir formüldür yani tabii ki güzellik çirkinlik tartışılır o ayrı...

 Buna göre ön bilgi vererek -ispat içindeki formüllerin amacı ve kullanımı- ispat ediniz. Denemelerimi yazmayacağım fakat ipucu olarak; Maclaurin serisinden bahsedebiliriz bolca kullanılıyor. İlerleyen saatlerde ben de ispatımı yazacağım.

 Elbet aynı isimle açılan konuyu gördüm ama verilen cevaplar doyurucu değil; zannımca yeniden su yüzüne çıkarmak iyi olacaktır.

Comments

Bu esitlige neden ozdeslik dediniz?

---

Kitabımda Euler özdeşliği olarak geçiyordu yanlışsa düzeltirim sorun değil

---

Ozdeslik deyince icinde degisken olmali ve degiskenin uygun her degeri icin dogru olmali. Denklem de denmemeli. Euler formulu denebilir fakat bunu bulan gercekten Euler mi ya da ona ithafen mi boyle isimlendirilmis bilemiyorum.

---

Peki, değiştireyim hocam teşekkürler bilgilendirme için

Answer 1

$\forall x\in\mathbb{R}$ için $e^x=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$ ve 

$\sin x=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!},\quad \cos x=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$ 

olduğu  Kolayca(!) ispatlanıyor.

$x\in\mathbb{R}$ olmak üzere $ix$ için de birinci özdeşliğin sağlandığını kabul edelim 

(aksi halde $e^{z}$ nin bir tanımı gerekecek ve o tanımdan, büyük bir olasılıkla, bu eşitlik hemen elde edilecektir)

Her $n\geq0$ için $i^{2n}=(-1)^n$ ve $i^{2n+1}=(-1)^ni$ olduğunu kullanarak:

(İlk çözümde aşağıdaki serilerin sırası ters idi düzelttim)

$\displaystyle e^{i\pi}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(i\pi)^n}{n!}=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{\pi^{2n}}{(2n)!}+i\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{\pi^{2n+1}}{(2n+1)!}=\cos \pi+i\sin\pi=-1$

elde edilir.

(Aynı şekilde, her $x\in\mathbb{R}$ için $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ elde edilir.)

4. satıra ek:

 (veya $e^{ix}$ in tanımı olarak alalım. Aynı seri, karmaşık sayılarda da mutlak yakınsaktır)

Comments

Ellerinize sağlık hocam, katkınız için teşekkürler.

---

Çözümde serilerin sırası ters olmuş, onu düzelttim.