Question

Bir $ABC$ üçgeni düşünelim, $m(\widehat{BAC})=50^\circ$ ve $m(\widehat{BCA})=30^\circ$ olsun. $|AB|=c$ ve $|BC|=a$ olsun. Bu üçgende $a^3+c^3=3ac^2$ olduğunu gösteriniz.

Merhaba, bu problemi çözmek için birkaç farklı yöntem denedim ama (eşkenar üçgen oluşturmak, çember geçirmek, 80-50-50, langley üçgeni) ancak bulmam gereken şey bir açı olsaydı bu yöntemler daha işe yarardı. Uzunluk bulmak ve hatta uzunluklar arasında bir ilişkiyi göstermek için ne yapacağımı bilemedim açıkçası, trigonometriye de pek girmedim çünkü trigonometrik çözüm yapmayı sevmiyorum ve bu soruda kullanabileceğim bir araç göremedim.  Tavsiyeleriniz nelerdir?

Comments

$R$  cevrel cemberin yari capi olmak uzere alan formullerini esitleyerek  $c=R$ bulunuyor. $C$ acisina gore kosinus teoremi yazdim ve ucgenin bir acisi digerinin 2 kati oldugundan

$$b^2=a^2+ac$$  esitligi de elimizde var. Bu bagintinin cikartilisi formda paylasildi. Fakat verilen bagintiyi elde edemedim.

---

Kosinüs teoreminden   $c^2=b^2+a^2-ab\sqrt 3$  gelir.  $b^2=a^2+ac$  yerine yazılabilir ve böylece $b$  yok edilmiş olur.

---

Bu arada istenen eşitliği doğru yazdın mı Deniz? Ulaşamadım bir türlü.

---

Doğru yazmışım hocam, sorunun orijinalini de atabilirim isterseniz.

---

Hocam $40^\circ$ 'nin sinüsü, kosinüsü ile $30^\circ$ arasında bir ilişki kurabilir miyiz? Bunun için özel formüller var ise (aklima en pratik gelen su an $\sin3a=f(\sin a)$($f(\sin a)$ uc kez toplam fark formulu kullanarak cikaracagim??) yı kullanarak, $20^\circ$ ye sonra da $40^\circ$ ile ilgili bir bilgiye ulaşabilir miyiz?

---

40,40,100 üçgenini çözümleyelim diyorsun anladığım. Fakat bu gidiş karmaşık gözüküyor.

---

Bu arada dediğim üçgende sinüs teoreminden  $a/c=2cos40$  bulunuyor. Bu değerin gösterilecek eşitliği sağlayıp sağlamadığına bakabiliriz.

Answer 1

Senin eşitliğini değil ama farklı bir eşitlik buldum:

$CB$  ışınını $BD=c$  kadar uzatalım. Bu durumda $ABD$  ikizkenar ve $CBA$  üçgeni benzer $CAD$   olacağından  $a/b=b/CD=c/AD$  eşitliğinden  $CD=b^2/a$   ve buradan

$$BD=b^2/a-a=(b^2-a^2)/a=c$$    ve  $AD=b.c/a$  bulunur. Bulduğumuz  $c$  değerini burada yerine koyarsak  $$AD=\dfrac{b^2-a^2}{a}(b/a)=\dfrac{b^2-a^2}{a^2}.b$$    bulunur. Bundan sonra $ACD$  üçgeninde $C$  açısına göre kosinüs  teoremi uygulanır ve bulduklarımız yerine konularak sadeleştirmeler yapılırsa  $$b^3+\sqrt{3}.a^3=3ba^2$$ eşitliği elde olunur.

Comments

Alper hocam, bulduğunuz eşitlikte (bir üçgenin bir iç açı ölçüsü diğerinin iki katı ise geçerli olan ) $b^2=a^2+ac$ eşitliği kullanılır ve uzun cebirsel işlemleri yaparsanız Denizin bulduğu/sorduğu eşitlik çıkıyor. 

---

Tesekkurler Mehmet hocam.

Answer 2

$ABC$ üçgenini çizelim, $B$'den $|AC|$'ye inilen dikmenin ayağı $D$ olsun. $|BD|=\dfrac{a}{2}$'dir. 

$[AB$ uzantısında $m(\widehat{AEC})=80^\circ$ olacak şekilde bir $E$ noktası işaretleyelim. Bu noktadan $B$ ve $C$ noktalarına ayrıtlar çizildiğinde $|BC|=|CE|$ olduğu görülür. Ayrıca $|AE|=|EC|$ olduğu da.

$C$'den $|BE|$'ye inilen dikmenin ayağı da $Q$ olsun. $BQC$ dik üçgeninde $|BQ|=\dfrac{a-c}{2}$ olduğundan ve hipotenüs de $a$ olduğundan $\cos80^\circ=\dfrac{a-c}{2a}$ olur. Öte yandan $ABD$ üçgeninde de $\cos40^\circ=\dfrac{a}{2c}$ olur. 

$$\cos80^\circ=\cos^240^\circ-\sin^240^\circ=2\cos^240^\circ-1$$ $$\dfrac{a-c}{2a}=\dfrac{2a^2}{4c^2}-1$$ $$\Rightarrow \dfrac{3a-c}{\color{red}{\not}2a}=\dfrac{a^2}{\color{red}{\not}2c^2} \Rightarrow 3ac^2-c^3=a^3$$ $$\Rightarrow a^3+c^3=3ac^2$$

Comments

Eline sağlık, doğru gözüküyor. Ufak bir düzeltme: 1) B den AC ye dikme iniliyor  2) BC = CE oluyor.

---

Düzelteyim, teşekkürler hocam:)

---

En son bulduğum eşitlik $c^2=2a^2+ac-a\sqrt{a^2+ac}.\sqrt3$

Fakat buradan istenen eşitliği elde edemedim.

---

Ben de biraz düzenlemeye çalıştım elde ettiğiniz eşitliği ama bulamadım. Bu yöntemle çözdüğümüzde aynı eşitliğe ulaşmak şart mı, acaba daha genel bir üçgen için mi geçerli bu diye düşünecek olsam, kullanmadığınız bir açı veya kenar da yok.