$11^{126}$'nın birler ve onlar basamağı nedir?

Question

$11^{126}$ sayısının birler ve onlar basamağını nasıl buluruz?

Birler basamağı bariz. $\phi(100)=40$ olduğunu kullanarak $11^{120} \equiv 1 (\mod 100)$ dedikten sonra kalan $11^6$'lık kısmı hesaplayınca cevap geliyor ama bundan daha kolay bir yol olmalı. 

Comments

(10+1) üzeri 11 diyip binom açmayı deneyebilirsin.

---

ne üzeri 11 i ya üzeri 126 :)

---

11'in kuvvetleri açıldığında onlar basamağı ile kuvvet arasındaki ilişkiye dikkat ettiniz mi? Orada bir döngü var. Kolay çözümü göreceksiniz.

---

İçime sinmiyor öyle düşünmek.

---

Sinme nasil olur ki? Dogukan'in dedigi yontem en azindan tanimla ilgili $$(10+1)^{26}=1+26\cdot 10+ 100(\cdots)$$

Answer 1

11^126 = 10k+1

11^126-1/10 = k

(11-1)(11^125+11^124...+1)/10 = k

11^125...+1 = k

K = 126 mod10

Onlar basamağı 6, birler basamağı 1.

Answer 2

$$11^0=1$$

$$11^1=11$$

$$11^2=121$$

$$11^3=1331$$              genelleme çıktı gibi geliyor ama emin olmak için bir basamak daha denemekte fayda var

$$11^4=14641$$     Görüldüğü gibi 11'in üs kısmına yazılan sayının birler basamağı, sayının değerinde onlar basamağına denk geliyor. Nereden bileyim böyle devam edeceğini demekte haklısınız  ama bir şeye daha dikkatinizi çekmek isterim: üs olarak yazdığımız sayının bir fazlasının Pascal üçgenindeki basamak numarası o sayının değerini veriyor. Yani $11^n$ Pascal üçgeninin $n+1$'inci basamağı. Pascal üçgeninde de satır sonu rakamı daima 1 yani satır sonundan önceki sayı daima ritmik olarak artıyor bu da genelleme yapabileceğimizin teminatı. Ve de Pascal üçgeni rakamlar kullanılarak oluşturulduğu için $mod10$'da işlem yaparız. $mod10$'da test kitaplarının klasik birler basamağı soru kalıbı.