Sonlu bir $F$ cismindeki her eleman iki kare toplamıdır.

Question

Daha matematiksel bir ifadeyle, $F$ cisminden aldığımız her $a\in F$ için, 

$$\begin{equation}a=b^2+c^2\end{equation}$$

eşitliği sağlanacak şekilde $b,c\in F$ elemanları bulunabilir.

Answer 1

 eger karacteristik 2 ise $b$ ve $c$ ye gerek yok, birini $0$ bile alabiliriz. Cunku $b \rightarrow b^2$ otomorfisma. buda her elemanin $b^2$ tarafindan yailabilecegini gosteriyor. Hatta $b^2+c^2=(b+c)^2$.

eger karakteristik 2 degilse. Bu cisime $F$ diyelim ve mertebesi $q$ olsun. $F$'in carpmaya gore grubu dongusel ve mertebesi $q-1$, cift bir sayi. Bunlardan yarisi bir kare olmak zorunda ve $0$ da bir kare oldugundan, kare olan elemanlarin sayisi $(q+1)/2$. 

Burda (kitabin ismini hatirlamiyorum ama yesil kapli temel bir kitapti, orda) eger bir grubun iki altkumesinin ($A$ ve $B$) eleman sayisinin toplami grubun ($G$) mertebesini asarsa $A*B=G$ olmak zorunda. islem ($*$) olarak da toplamayi alirsak ispat bitmis olur.

Comments

Bu son kismin ispati da basitti. Hatta soru olarak ekleyeyim bunu. Tesekurler.