$\int_0^1 (1-x^2)^4dx$ integrali -- binom ile uzadı

Question

Binom kullandim ama cok uzadi baska nasil olabilirdi?

Comments

İpucu:  $$(a+b)^4=a^4-4a^3b+6a^2b^2-4ab^3+b^4$$

---

Anladigim kadari ile bunu kullanmis ama baska bir yolu var mi diye soruyor? Baska yollar da bulabilinir ama yine de (bendekiler) uzun suruyor, gereksiz uzatma oluyor bir de. 

---

Binom ile deyince benim aklıma binom integrali yöntemi gelmişti.

Answer 1

En azindan genel bir cevap icin sunu soyleyebiliriz.

$a$, $b$ gercel sayilari ve $n$, $m$ pozitif tam sayilari icin  $$\int(a+bx^n)^m\: dx = \sum_{k=0}^m \binom mk a^{m-k}b^k \frac{x^{kn+1}}{kn+1}+C$$ olur. ($C$ sabit). Buradan $$\int_0^1(a+bx^n)^m\: dx = \sum_{k=0}^m \binom mk a^{m-k}b^k \frac{1}{kn+1}$$ olur. Bu ornek icin ise cevap  $$\sum_{k=0}^4 \binom4k(-1)^k\frac{1}{2k+1}$$ olur.

Comments

Genel formdaki integralden gelen toplami bir seylere benzetebilir miyiz? Toplam icindeki ifadeler aslinda guzel ifadeler...