Özdeş cisimler arasında permütasyon

Question

Başka sitede soruldu, çözüm bulamadım. Ayraç denilen yöntemle çözeyim dedim, olmadı.

25 adet özdeş bilye, 25 adet özdeş kalem, 25 adet özdeş silgi ve 25 adet özdeş defter 2 kişi arasında ve her birinde 50 adet olacak şekilde kaç farklı biçimde paylaştırılır?

Comments

Silgi defter vs sayilarina ayri ayri $x_1,x_2,x_3,x_4$ dedim, birinci kişiye $x_1+x_2+x_3+x_4=50$ şeklinde dağıtırsam, 2.kişiye $(25-x_1)+(25-x_2)+(25-x_3)+(25-x_4)=50$ olacak şekilde dağıtabilirim, buradan sonucu $\dbinom{53}{3}^2$ şeklinde buldum, emin değilim ama tam olarak, cevabı biliyor musunuz?

---

Şıklar şunlarmış:

A)11726 B)11701 C)11676 d)11600 e)11566

---

Üstsınır koymayı unutmuşum, $25$ ten buyuk olamazlar, $x_i\leq 25$ koşulu koymalıydım. 

---

$(1+x+\cdots+x^{25})^4$ polinomunda $x^{50}$ monomialinin katsayisi bu sorunun cevabini verir. $11726$ olmasi lazim.

---

Benim bahsettiğim yöntemin bir benzeriyle yapabilir miyiz peki hocam, bahsettiklerimi denedim ama $10328$ bulabildim, üretici polinomda o katsayıyı hesaplamak için kolay bir yol var mı?

---

iki yontem zaten ayni. Dort tane kuvvet var. Bunlara $x_1$, $x_2$, $x_3$ ve $x_4$ dersek tam olarak senin yazdigini bulmak oluyor.

Islemlerini istersen bi kontrol et.  (wolfram-link)

---

$x_1+x_2+x_3+x_4=50$ denkleminin negatif tamsayi cozumleri $25-x_i$ icin de saglanir, $x_i\leq 25$ icin tum durumlar $\binom{53}{3}$ bir tanesinin $\geq 25$ olduğu durum $4\cdot\binom{25+3}{3}$ oldu, ikiserli olarak $\geq 25$ oldugu durumlar $\binom{4}{2}\cdot\binom{3}{3}$ buradan $\binom{53}{3}-4\binom{28}{3}+6$ oldugu durumlari hesapladim ve hesap makinesinden $10328$ buldum. Ust siniri alirken mi hata yapiyorum hocam? islemlerimi de hesap makinesiyle yaptim.

---

$\ge 26$ olan durumlari cikartman gerek miyor mu? $=25$ olabilir.

---

Bu sekilde hesaplandiginda zaten bu sayi geliyor: wolfram-link

---

Of, doğru ya, teşekkürler hocam:)

---

Mesela bilyeleri B defteri D kalemi K silgiyide S ile göstersek bunları sıralasak sonra ilk 50 tanesini biri 2. yi diğeri alsa bu yolla neden çözüme ulaşılmıyor ?

$100!/(25!^4).2$ 

Answer 1

1.kişi için zaten herhangi bir $x_i$ sayısı belirlendiği zaman 2.kişideki $25-x_i$ sayılarının toplamı yine $50$ ye eşit olacaktır, o halde $x_i\leq 25$ için $x_1+x_2+x_3+x_4=50$ denkleminin negatif olmayan tamsayı çözümlerinin hesaplanması yeterlidir, geri kalanı tek türlü sıralanır. $x_1,x_2,x_3,x_4$ kalem, silgi, defter vs. 'nin sayılarını temsilen tüm durumlar $$\dbinom{50+4-1}{4-1}=\dbinom{53}{3}=23426$$ 'dır. Küçük eşit olma koşulunu sağlatmak için $x_i>25$ olan durumları $x_i=x_i'+26$ belirleyip tüm durumlardan çıkaralım, $x_1'+x_2+x_3+x_4=24\Rightarrow \dbinom{27}{3}$ bunu seçebileceğimiz 4 farklı sayı var, o halde $4\cdot\dbinom{27}{3}$, ikişerli durumları katmaya gerek yok çünkü zaten negatif çıkıyor, o halde $$\dbinom{53}{3}-4\dbinom{27}{3}=11726$$ elde edilir.