Question

5 kırmızı 4 beyaz özdeş bilye düz bir hat boyunca herhengi iki beyaz bilye yanyana gelmemek şartıyla kaç farklı şekilde sıralanabilir? cevap 15

Answer 1

Problemi şöyle kurmak mümkün: beyaz bilyeler dizilmiş olsun:     B    B    B    B

İçeride kalan boşluklara enaz birer kırmızı gelmelidir:  B  K  B  K  B  K  B

Geriye 2 kırmızı kaldı. Bunlar dışarıya da gelebilirler, gelmeyebilirler de, tamamı yine içeride yeralabilir. 

Dışarı durumu kaç tanedir (Yani ikiside dışarıda). Bunun cevabı "2 topu 2 kutuya kaç farklı şekilde koyarız?" sorusunun cevabıyla aynıdır. Bunun cevabı ise basittir: 3: 1) ikisi sağda 2) ikisi solda, 3) birer tane sağda ve solda. ELDE VAR 3

K  K  B  K  B  K  B  K  B

B  K  B  K  B  K  B  K  K

K  B  K  B  K  B  K  B  K

Şimdi dışarıda 1 tane olsun. Bu kaç şekilde olur? Tabii ki 2; ya sağda ya solda olacaktır. Fakat herbir durumda da geri kalan tek top üç kutudan birinde olabilir. Yani 3 durum var: $2\times 3=6$ farklı dizilim demektir. ELDE VAR 6

Şimdi içeri durumuna bakalım. Bu iki topu üç kutuya nasıl dağıtabiliriz? 

İkisi aynı kutuya girebilir: 3 dizilim var:

B  K  K  K   B  K  B  K  B gibi...  ELDE VAR 3

İkisi farklı kutularda yaşayabilir: her bir durum için 2 dizilim mümkün! Fakat aynı durumlar atmak için ikiye bölmeliyiz:

B  K  K  B  K  K  B  K  B  gibi...  ELDE VAR 3

Toplamda 3+6+3+3=15 bulunur.

K  K  B  K  B  K  B  K  B

B  K  B  K  B  K  B  K  K

K  B  K  B  K  B  K  B  K

------------------------------------

K  B  K  K  B  K  B  K  B 

K  B  K  B  K  K  B  K  B

K  B  K  B  K  B  K  K  B

B  K  K  B  K  B  K  B  K  

B  K  B  K  K  B  K  B  K  

B  K  B  K  B  K  K  B  K  

------------------------------------

B  K  B  K  K  K  B  K  B

B  K  B  K  B  K  K  K  B

B  K  K  K  B  K  B  K  B

------------------------------------

B  K  K  B  K  K  B  K  B 

B  K  K  B  K  B  K  K  B

B  K  B  K  K  B  K  K  B

------------------------------------

 

Answer 2

5 Kırmızı özdeş bilye 1 farklı biçimde dizilebilir: _K_K_K_K_K_ Sonra Beyaz bilyeleri özdeş değil de farklılaşmış gibi düşünüp Yanyana gelmeyecek şekilde Kırmızıların arasına dağıtalım, 1. Beyaz bilye için 6 boş yer, 2. Beyaz bilye için 5 boş yer, ... , 4. Beyaz bilye için 3 boş yer var (6.5.4.3)/4!=15 4! e bölme sebebimiz bilyelerin özdeş olması ve yer değiştirmelerinin önemsiz olması.

Answer 3

Mustang'in çözümüne paralel olarak beş kırmızıyı $-K-K-K-K-K-$ biçiminde dizelim. $-$ olan yerlere en fazla bir beyaz koyabiliriz. $6$ tane mümkün yerden $4$ tanesini $\dbinom{6}4=15$ yolla seçebiliriz.

 

Benzer fikirle, $k$ tane özdeş kırmızı ve $b$ tane özdeş beyaz topu, herhangi iki beyaz yanyana bulunmayacak biçimde kaç farklı yolla dizebiliriz? Bunun cevabı da $\dbinom{k+1}{b}$ olur. (Elbette, $b\leq k+1$.)