$u_n$ n. fibonacci sayısı olmak üzere...

Question

Gösteriniz ki 

$2|u_n \Rightarrow 4|u_{n+1}^2-u_{n-1}^2$

 

benzer şekilde

$3|u_n \Rightarrow 9|u_{n+1}^3-u_{n-1}^3$

 

dir.

Answer 1

şimdi çözümler için bildiğim eşitliklerden bahsetmem gerekirse öncelikle...

$$u_1=u_2=1\;\;,\;\;u_n=u_{n-1}+u_{n-2}$$  $n \geq2$ fibonacci sayılarını verir.

$$u_{m+n}=u_{m-1}u_n+u_mu_{n+1}\;\;...(*)$$

Binet formülü: $$u_{n+2}^2-u_n^2=u_{2n+2}$$

Burdan hareket ederek ilki için binet formülünden

    $$u_{n+1}^2-u_{n-1}^2=u_{2n}$$ yazılabilir.

$$u_{n+1}^2-u_{n-1}^2=u_{2n}=u_{n+n}=(...(*)dan...)=u_{n-1}u_n+u_nu_{n+1}=u_{n-1}u_n+u_n(u_n+u_{n-1})=2u_{n-1}u_n+u_nu_n$$

gelir. Bu son toplamsal durumda $2|u_n$ olduğundan $4$ün katı olduğu görülür.

ikinci önerme içinde

$$u_{n+1}^3-u_{n-1}^3=(u_{n+1}-u_{n-1})(u_{n+1}^2+u_{n+1}u_{n-1}+u_{n-1}^2)=u_n(u_n^2+3u_{n+1}u_{n-1})$$

gelir ki $3|u_n$ olduğundan son çarpımsal ifade $9$un katı olduğu görülür.

şeklinde çözdüm ama bilemedim onaya ihtiyacım var..