Question

$f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$ sürekli ve integrallenebilen bir fonksiyondur ve $f(x)+f(-x)=1$ eşitliği doğru olduğuna göre $\int^4_{-4}f(x)dx=$?

Comments

integralin sinirlarini $-4\rightarrow0$ ve $0\rightarrow4$ olarak ikiye ayirip ilk parcaya $x \rightarrow -x$ donusumu yapabiliriz. (kafa karisikligi olursa $x \rightarrow -u$ olarak da donusturebiliriz.)

---

Sürekli olup da integrallenemeyen fonksiyon var mı?

---

Ayrıca Weistrass fonksiyonu sürekli bir fonksiyon ancak hiçbir noktasında diferansiyallenebilir değil bu da onu integrallenemez yapmaz mı?

---

kapalı ve sınırlı bir aralıkta [a, b] sürekli olan her fonksiyon aynı zamanda Riemann anlamında integrallenebilir. Sadece improper integrallerin sonucu bir değere yakınsamıyor olabilir yani ıraksak gelebilir.

Answer 1

Sercan hocamın dediği yöntemi uygularsak;

$K=\int^{4}_{-4} f(x)dx= \underbrace{\int^{0}_{-4} f(x)dx}_{A \quad olsun} + \int^{4}_{0} f(x)dx$

A integralini düzenleyelim;

$x=-x$ değişken değiştirme yöntemini kullanırsak;

$dx=-dx$ ve sınırlar $x=0$ için $-x=0$ ve $x=-4$ için $-x=4$ olur. Bu ifadeleri A integralinde yerine yazacak olursak;

$A=\int^{0}_{-4} f(x)dx=-\int^{4}_{0} f(-x)dx$ olur.

Bulduğumuz $A$ değerini $K$ integralinde yerine yazalım;

$K=\int^{4}_{-4} f(x)dx= \int^{4}_{0} f(x)dx- \int^{4}_{0} f(x)dx$.

Sınırlar ve diferansiyaller aynıysa tek bir integral altında gösterebiliriz;

$K=\int^{4}_{-4} f(x)dx=\int^{4}_{0} f(x)-f(-x)dx$

$f(x)+f(-x)=1$ ise $f(x)-1=-f(-x)$ olduğunu biliyoruz! O halde:

$K=\int^{4}_{-4} f(x)dx=\int^{4}_{0} f(x)-f(-x)dx=\int^{4}_{0} f(x)-(f(x)-1)=dx\int^{4}_{0} dx=x+c\big|^{4}_{0}=(4+c)-(0+c)=4$ olur.