Logaritma Yardımıyla Türev Alırken Tabanda "e" Kullanılabilir mi?

Question

Bir örnek üzerinden açıklayayım;

$y=x^{3x}$

$d'y/dx'$i bulmak için:

Normalde 2 tarafında doğal logaritmasını alıyoruz ki üstteki bilinmeyeni aşağı çekebilelim.Ancak ben burada şunu denedim:

$e^{lny}=e^{lnx^{3x}}$

$y=e^{3xlnx}$

$y'=e^{3xlnx}.3lnx+x$

Çoğu adımı atladım, sormak istiyorsanız açıklayayım.

Answer 1

Genel yol olarak (bahsettigin uzere):

ilk olarak $\ln$ uygulayalim 

$$\ln y=3x\ln x$$ olur. Turev alirsak $$\frac{y^\prime}{y}=3\ln x+3x\frac{1}{x}=3(\ln x+1)$$ yani $$y^\prime=3x^{3x}(\ln x+1)$$ olur.

__________________

Uygulamak istedigin yontemde ise $$y=e^{\ln(x^{3x})}=e^{3x\ln x}$$ oldugundan yine  $$y^\prime=e^{3x\ln x}\left(3\ln x+3x\frac{1}{x}\right)=3x^{3x}(\ln x+1)$$ olur.

__________________

Iki yontem de kullanilabilir. Zaten fikir/oz olarak pek de farkli degiller. 

$\ln$ kullandigimizdan $x > 0$ icin bu islemleri yapmak gerekir. Negatif sayilarin kuvvetleri/kokleri gercel sayilarda tanimli olmaya da bilir. Bu nedenle bu islemleri rahat olan $x>0$ icin yaptik. 

Sonucunu hatali bulmussun ya da parantez eklemeyi de unutmus olabilirsin. Sorun degil. Ilk bazda onemli olan fikir. 

Comments

Teşekkürler sanırım son adımda hata yaptım, bu şekilde de çözülebilmesi iyi.