Borel toplamları

Question

$\sum ^{\infty }_{n=0}\dfrac {\left( 2n+k\right) !\zeta \left( 2n+2\right) \left( -1\right) ^{n}}{\left( 2\pi \right) ^{2n}}$ k ya bağlı olarak hesaplayınız.

öncelikle seri k nın hiçbir değeri için yakınsak değil ama borel toplamlarının düzenlenmiş hali sonuca ulaşmamızı sağlayabilir fakat nasıl uygulamam gerektiğini anlayamadım.Onun dışında faktoriyelli ifadeyi gama-beta fonksiyonu ilişkisiyle ayırmak istediğim ama serinin yeni hali daha karmaşık bir hal aldı.Biraz ilerleme kaydetmemi sağlarsanız da memnun olurum.