i karmaşık sayısının negatif birinci kuvveti ile pozitif birinci kuvvetlerinin birbirlerine eşit olması

Question

Öncelikle merhabalar, ben iç mimarlık 1.sınıf okuyan bir üniversite öğrencisiyim bu benim buradaki ilk mesajım.

Sorum şu: (a, b'ye eşit olmamak üzre) 

[a-b]/[b-a] = -1

[a-b]/-[a-b] = -1

[1/-1]*[a-b]/[a-b] = -1

[1/i]*[[a-b]^1/2]/[[a-b]^1/2] = i

i^[-1] = i^1

buradan böyle bir sonuç buldum, sizce hatayı nerede yapmış bulundum?

Comments

Önceki yorumu aşağıda cevap olarak yazdım.

---

Cevabın açıklayıcı oldu, ancak karmaşık sayılarda özellikle, kök içine alma veya dışına çıkarma gibi işlemler genellikle dediğin gibi 2 yönlü ele alınmalı sanırım.

(Ve, aslında bu soruda biz paydayı değilde payı eksi ile çarpsak cevabımız i=i den doğru çıkıyor)

Answer 1

Ali Nesin bir soru için benzerini yazmıştı, şimdi bulamadım.

Aşağıda "kakekök $x$" karesi $x$ olan iki sayıdan herhangi biri anlamında kullanılmıştır.

Burada (0 dan farklı) bir karmaşık sayının iki karekökünden biri  seçiliyor (ve $\sqrt z$ ile gösteriliyor) ve seçilenler için

$\sqrt{zw}=\sqrt z \sqrt w$ (ve $\sqrt{\frac zw}=\frac{\sqrt z}{ \sqrt  w}$) olacağı kabul ediliyor. Bu kabulün bir temeli yok.

Elbette $\sqrt z \sqrt w,\ zw$ nin bir (yukarıdaki anlamda) bir kareköküdür ama seçilen karekök olan $\sqrt{zw}$ ye eşit olmak zorunda değildir, (diğer karekök olan) $-\sqrt{zw}$ ye eşit olabilir. 

Comments

Aynı "çelişki" daha hızlı olarak:

$(-1)\cdot(-1)=1$

$\sqrt{-1}\cdot\sqrt{-1}=\sqrt1$

$i\cdot i=1$ 

şeklinde de oluşturulabilir.

---

Evet, duymuştum ancak o kural için gerekli şartlar, tam olarak sağlanmıyor imiş.

Ancak benim sorumda bu kural kullanılmıyor ki.Yani en azından öyle görünmüyor.Çünkü kökün içinde 2 sayı çarpılıyorsa (ki benim sorumda böyle bir işlem yok gibi görünüyor) bu iki sayı birden eksi olmamak zorunda.Ama dediğiniz gibi temel kökler ve ikincil köklerin kullanımı hususunda bir dayanak noktası olmayabilir.

---

[1/-1]*[a-b]/[a-b] = -1

satırından

[1/i]*[[a-b]^1/2]/[[a-b]^1/2] = i

satırına geçerken bu varsayım kullanıldı.

İkinci satırda $\sqrt {\frac1{-1}\cdot \frac{b-a}{b-a}}=i$ yazmak yerine bu adım atlandı ve sol tarafın

$\sqrt {\frac1{-1}}\cdot \sqrt{\frac{b-a}{b-a}}=\frac{\sqrt 1}{\sqrt{-1}}\cdot \sqrt{\frac{b-a}{b-a}}=\frac1i$  a eşit olduğu kabul edildi.

---

Ancak bu kurala göre içerdeki sayılardan biri eksi olabilir, yani, kökü ayırabiliriz.

Answer 2

Giris:

$(a,b)=a(1,0)+b(0,1)=a+bi$ olarak dusunelim. Elimizde  $$(0,1)(0,1)=(-1,0)$$ ve $$(0,-1)(0,-1)=(-1,0)$$ esitlikleri yani $$i^2=(-i)^2=-1$$ esitlikleri var.
__________________________________________________
Gelisme:

Soru 1: $-1$ karmasik sayisinin kokleri nelerdir? 

Cevap: $i$ ve $-i$ karmasik sayilaridir.

Soru 2: $-1$ karmasik sayisinin temel koku nedir? 

Cevap: $i$ karmasik sayisidir.

Soylemek istedigim: Ilkinde bir $\{i,-i\}$ kumesi var ve ikincisinde iyi bir sekilde tanimlanmis bir $i$ degeri var. 

__________________________________________________
Sonuc:

Sonuc olarka yaptiginiz su: Sol tarafta $-1$ degerinin kokunu $-i$ ve sag tarafta ise $i$ degerine goturmussunuz. Iyi tanimli bir islem sinirlarindan cikmissiniz ve yanlis sonuc elde etmissiniz. 
__________________________________________________

Isin kisasi ise Dogan hocanin cevabindaki gibi bir ozellik yok. 

Comments

Bunun nedeni açıkladığım gibi pay yerine paydayı eksi ile çarpmam olmuştur.Açıklayışınız için teşekkür ederim.

---

Sorun orada degil: $-1=\frac1{-1}=\frac{-1}1$ zaten. 

---

Hayır hayır ben de zaten orada sorun olduğunu yazmadım.Eğer öyle yapsa idik i=i çıkacaktı da ondan yazdım.

---

Soru 1 ve Soru 2 ile cevapları harika olmuş. Maalesef Secan Hocanın bu açıklamalarını bilen az. Karesi -1 olan 2 tane sayı vardır ve biz i olarak temel (principal) kökü alırız. Bu durumun benzeri reel sayılardaki kök işlemlerinde de vardır.