Kuadratik Cisimler üzerinde Siklotomik Cisimlerin minimal polinomları

Question

Su ara edinmis oldugum bir gozlemi/bilgiyi soru olarak paylasayim. Bence hos ve faydali bir soru. 

Ilk olarak birkac bilgi vermek istiyorum: 

$p$ asal olmak uzere... $p\equiv 1 \mod 4$ olsun. Bu durumda $$\sqrt{p} \in \mathbb Q(w_p)$$ olur. ($w_{n}$ ile  birin esas $n$. kokunu imgeleyecegim). Eger $p \mid n$ ise  $$\sqrt{p} \in \mathbb Q(w_p) \subset \mathbb Q(w_n)$$  yani  $$\mathbb Q(\sqrt{p})  \subset \mathbb Q(w_n)$$ saglanir ve genisleme derecesi $$\frac{\phi(n)}{2}$$ olur. Ayni sekilde $p\equiv 3 \mod 4$ ise $$\sqrt{-p} \in \mathbb Q(w_p)$$ olur. Eger $p \mid n$ ise  $$\mathbb Q(\sqrt{-p})  \subset \mathbb Q(w_n)$$ saglanir ve genisleme derecesi $$\frac{\phi(n)}{2}$$ olur.

Soru su: Eger direkt $\mathbb Q$ uzerinde sorsaydik minimal polinom $\Phi_n(x)$ olurdu ($n$. siklotomik polinom). Bu alisageldik bir bilgi. Peki $\mathbb Q(\sqrt p)$ (ya da $\mathbb Q(\sqrt {-p})$) uzerindeki minimal polinom ne olur?  (Tabii ispat olarak ne oalcagini soruyorum. Tahmin etmek zor degil gibi).

Comments

$\sqrt{p}$'yi nasil yazacagimiz bilgisini yeni duyanlar `quadratic Gauss sum' konusuna bakabilirler.

---

Cevap gelmeyecek gibi, yakin bir gelecekte cevaplarim. Burada da bir ornek var aslinda: http://matkafasi.com/113710/s#a113799