Bu soru dişime göre :D
Önce siklotomik (bu kelimeye Türkçe bir karşılık bulmak gerek. tomic, atomic'den geliyor, döngüsel genişlemeleri verdiği için atom of cyclics gibi bir düşünceyle bu ad verilmiş olabilir. Siklotomik kelimesini Türkçe gibi düşünmeye ya da davranmaya gönlüm el vermiyor) polinomun tanımını verelim. n\geq 1 olsun ve \zeta da \mathbb{C} içinde 1'in herhangi bir primitif kökü olsun: e^{j\frac{2\pi i}{n}}, (j,n)=1 gibi bir şey yani. Bu durumda \Phi_n şöyle tanımlanır:
\Phi_n=\prod_{j\in(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}}X-\zeta^j
Büyük İddia: \Phi_n polinomu, \zeta'nın minimal polinomudur. Yani \mathbb{Q}[X]'den \mathbb{Q}'ya giden e_{\zeta}:f(X)\longmapsto f(\zeta) halka homomorfizmasının çekirdeğinin üretecidir.
Bu iddia doğruysa, elimize \mathbb{Q}[X]/(\Phi_n)=\mathbb{Q}[X]/\ker e_{\zeta}\simeq \mathbb{Q} izomorfizması geçer, bu da \Phi_n'nin gerdiği idealin bir maksimal ideal olduğunu, doğal olarak da (O kadar da doğal değil ama neyse ki bir tek üreteç bölgesindeyiz) \Phi_n'nin indirgenemez olduğunu buluruz.
O halde iş iddiayı kanıtlamaya kaldı.
Cücük iddia: F:=\mathbb{Q}[\zeta] içinde X^n-1 polinomunun bütün kökleri vardır.
İspat: Gereksiz.
Cücük iddiadan çıkan sonuç, F'nin X^n-1 polinomunun parçalanış cismi olduğudur. Demek ki F/\mathbb{Q} bir Galois genişlemesi (karakteristik sıfır olduğu için böyle ahanda Galois dedik.). Hadi bu genişlemenin Galois grubuna G diyelim.
Güççük iddia: G\simeq (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}.
Güççük ispat: \sigma\in G olsun. Dikkat edilirse \zeta'nın gittiği \sigma(\zeta)'yı bilirsek \sigma neymiş biliriz, çünkü her şey \zeta ve \mathbb{Q} cinsinden yazılabiliyor. Eğer (j,n)=1 ise \zeta\longmapsto \zeta^j kuralı G'nin bir elemanını, \sigma_j diyelim, verir. Açık ki \sigma_j\circ\sigma_l=\sigma_{j\cdot l}. O halde j\longmapsto \sigma_j ile (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}\longrightarrow G biçiminde bir homomorfizma tanımladık. \zeta elemanı \zeta'ya gitmedikçe \sigma_j\neq id\in G olacağı için bu homomorfizma birebirdir. Öte yandan, \sigma\in G otomorfizması X^n-1 polinomunun köklerini yine kendisine götürüyor. Ama bu polinomun kökleri döngüsel bir grup. O halde \sigma bu grubun bir üretecini yine bu grubun üretecine götürmeli, çünkü bu gruubun da bir otomorfizması çarpmaya saygı duyduğu için. Bu demektir ki, \sigma yukarıdaki \sigma_j formatında olmalı. Yani az önce tanımladığımız homomorfizma G'yi örtüyor. Böylece güççük iddiayı kanıtlamış olduk.
Sonuç: Demek ki G grubu \zeta'yı alıp \Phi_n'nin bütün köklerine götürüyormuş. Yani \Phi_n'nin kökleri kümesi aslında \zeta'nın eşlenikleri kümesiymiş. Yani, Galois teori gereği, \Phi_n indirgenemezmiş çünkü minimal polinom eşlenikleri kök kabul eden lineer polinomların çarpımıdır.
Biraz uzun oldu ama çok paslıyım ne yapalım. Kesin daha kısa çözümü vardır di mi Sercan?