$\int$ $\dfrac{x^{2}}{x^{3}+x-2}dx$ ifadesinin integralini bulunuz

Question

Paydadan  $x^{2}$ ekleyip çıkarttım. Gelen ifadeyi çarpanlarına ayırdığımda çıkan sonuçlardan $\dfrac{3x+4}{x^{2}+x+2}$ ifadesinin integralini alamadım.

Comments

Sanırım küçük bir işlem hatası var.

$x^3+x+2=(x+1)(x^2-x+2)$ olur.

Ek:

Ama yine de Sercan ın çözümündeki yöntemle cevap bulunur.

---

Evet ben de onu diyecektim.. Carpanlara ayirmada bir hata var..

---

O zaman cevabi bu sekilde birakiyorum.

---

Ben sorunun pay kısmını yanlış yazmışım -2 olacaktı özür dilerim. Takıldığım 2. ifadedeki türevini alarak yazmak hiç aklıma gelmemişti.

Ben onu $\dfrac{ax+b}{x^{2}+x+2}$ şeklinde yazmıştım burada takılıyordum .

$\dfrac{a(2x+1)}{x^{2}+x+2}$ + $\dfrac{b}{x-1}$ bu şekilde mi yazacaktık.böyle yazdığımda 2 ifade de ln'li geliyor yanılıyormuyum?

Answer 1

Soruda bir parca degisiklik oldu. Mantik ayni oldugundan asagidaki cevabi degistirmiyorum:


Paydanin turevi $2x+1$ oldugundan payi

$$a(2x+1)+b$$ olarak yazmamiz isleri kolaylarsirir. $a=3/2$ olacagini gormek kolay ve akabinden $b=7/2$ oldugunu gozelmleriz. Dolayisi ile integrali $$\frac32\int\frac{2x+1}{x^2+x+2}dx+\frac72\int\frac{1}{(x+1/2)^2+7/4}dx$$ olarak yazabiliriz. Ilkinden $\ln$ ve ikincisinden $\arctan$ olan integral gelecek.

... ki zaten bu da bu tarz sorularin klasik cozumu ve hep boyle gelir. Basinda  $a(2x+1)+b$ formunda yazalim demek zaten integralleri $\ln$ ve $\arctan$ cinsinden yazmak icindi.

Answer 2

$\dfrac{x^2}{x^3+x-2}=\dfrac{x^2}{(x-1)(x^2+x+2)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{Bx+C}{x^2+x+2}$

$x^2=A(x^2+x+2)+(Bx+C)(x-1)$

$x=1\rightarrow$  $A=1/4$

$x=0\rightarrow$  $C=1/2$

$x=-1\rightarrow$  $B=3/4$

$$\int\dfrac{x^2}{x^{3}+x-2}dx=\frac{1}{4}\int\dfrac{1}{x-1}dx +\frac{3}{4}\int\dfrac{x+2}{x^2+x+2}dx$$

$$\int\dfrac{x+2}{x^2+x+2}dx = \int\dfrac{x}{x^2+x+2}+\dfrac{2}{x^2+x+2}dx$$

$$\int\frac{1}{2}\dfrac{2x}{x^2+x+2}+\dfrac{2}{x^2+x+2}dx$$

$$\int\frac{1}{2}\dfrac{2x+1-1}{x^2+x+2}+\dfrac{2}{x^2+x+2}dx$$

$$\int \frac{1}{2} \dfrac{2x+1}{x^2+x+2}+ \frac{1}{2}\dfrac{-1}{x^2+x+2}+\dfrac{2}{x^2+x+2}dx$$

$$\frac{1}{2}\int \dfrac{2x+1}{x^2+x+2}dx+ \frac{3}{2}\int\dfrac{1}{x^2+x+2}dx$$

$$\frac{3}{2}\int\dfrac{1}{x^2+x+2}dx=  \frac{3}{2}\int\dfrac{1}{x^2+x+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+2}dx= \frac{3}{2}\int\dfrac{1}{(x+\frac{1}{2})^2+\frac{7}{4}}dx$$

Comments

Okkes hocam aralara birkac kelime sıkıştırsaydın:)