Modüler aritmetik sorusu

Question

x^x = 2(mod11) ise x'in en küçük değeri nedir?

x=6 ya kadar denedim ama bir yere varamadım yardımcı olur musunuz

Comments

Bu siteye girip asagidaki kodu calistirirsan 39 ve 73un sagladigini gorursun. Ben 100e kadar baktim, daha fazla da bakilabilir.

Soruyu tam metin olarak paylasabilir misin?



Kod:

for n:=1 to 100 do
n,(n^n-2) mod 11;
end for;

---

Soru tam olarak bu şekilde ama çözüm gerekiyor 

---

Soru "x=?" boyle mi bitiyor?

---

@koe1k, cozum ayri is. Kod diyor ki: bunun 1 ile 100 arasinda iki cozumu var. Tum dogal sayilarda daha fazladir muhtemelen. Soruda sorulan nedir? : $x$ degerini bulunuz? En kucuk $x$ degerini bulunuz? Tum $x$ degerlerini bulunuz? ...

---

Hocama sordum en küçük değerini istiyormuş düzelttim soruda.

---

Diger Turlu hatali/eksik cunku $$(x+110)^{x+110}\equiv x^x \mod 11.$$

---

cevaplar için teşekkürler anladım :)

Answer 1

Ben bu soruyu $$n^n\equiv 2 \mod 13$$ icin cozup tum tam sayi cozumlerini verecegim. Bu sekilde genel cozumun de nasil yapilacagi hissedilir.

___________________________________________________________

1) Bu sistemin bir cozumu var ise sonsuz tane cozumu vardir:

Bunu gormek icin iki bilgi kullanacagiz: 

1a) $k$ bir tam sayi olmak uzere $$n+13k \equiv n \mod 13$$ saglanir.

1b) $n$ ile $13$ aralarinda asal olmak uzere $$n^{12}=1 \mod 13$$ saglanir. (Cunku $13$ asal bir sayi).

Dolayisi ile $$(n+12\cdot 13)^{n+12\cdot 13}$$ ilkinden dolayi $$n^{n+12\cdot13}$$ ifadesine ve ikincisinden dolayi $$n^n$$ ifadesine denk olur. Bu da bize bir cozum var ise sonsuz tane cozum olacagini verir. 

__________________________________________

2) $2^a \mod 13$ degerlerini inceleyelim. Sirasiyla  $$2,4,8,3,6,12,11,9,5,10,7,1$$ olur. Dolayisiyla her $13$ ile arasinda asal bir $n$ icin $a\in \{1,\cdots,12\}$ vardir ki   $$n\equiv 2^a \mod 13$$ olur. O zaman $$n^n \equiv (2^a)^n =2^{an} \equiv 2^1 \mod 13$$ icin cozum bulmaya calisalim.

______________________________

3) $2^a$ dedigiklerimiz $\mod 13$ icerisinde periodu $12$ olan bir dizi..  Dolayisi ile $$an \equiv 1 \mod 12$$ olmali. 

________________________________

4) Demek ki $a$ ile $12$ arasinda asal olmali. Bu da bize $$a\in \{1,5,7,11\}$$ olmasi gerektigini soyler. 

________________________________

5) Bu $a$ degerine karsilik gelen $n$ degerleri (2. maddeye bakiniz)

$a=1$ ise $n\equiv 2^1\equiv 2 \mod 13$
$a=5$ ise $n\equiv 2^5\equiv 6 \mod 13$
$a=7$ ise $n\equiv 2^7\equiv 11 \mod 13$
$a=11$ ise $n\equiv 2^{11}\equiv 7 \mod 13$

olur....

__________________

6) (3. maddede) $$an \equiv 1 \mod 12$$ olmali demistik. (5. madde ile) 

$a=1$ ise $an\equiv 1\cdot(2+13k) \equiv 2+k \mod 12$
$a=5$ ise $an\equiv 5\cdot(6+13k) \equiv 6+5k \mod 12$
$a=7$ ise $an\equiv 7\cdot(11+13k)\equiv 5+7k \mod 12$
$a=11$ ise $an\equiv 11\cdot(7+13k)\equiv 5+11k \mod 12$

___________________________

7) Sonuclarin $1$'e denk olmasini istedigimizden 

$a=1$ ise $k\equiv 11 \mod 12$
$a=5$ ise $k\equiv 11\mod 12$
$a=7$ ise $k\equiv 8\mod 12$
$a=11$ ise $k\equiv 4 \mod 12$

_______________________________

8) Dolayisi ile

$a=1$ ise $n\in \{2+13(11+12k) \: | \: k \in \mathbb Z\}=\{145+156k \: | \: k \in \mathbb Z\}$
$a=5$ ise $n\in \{6+13(11+12k) \: | \: k \in \mathbb Z\}=\{149+156k \: | \: k \in \mathbb Z\}$
$a=7$ ise $n\in \{11+13(8+12k) \: | \: k \in \mathbb Z\}=\{115+156k \: | \: k \in \mathbb Z\}$
$a=11$ ise $n\in \{7+13(4+12k) \: | \: k \in \mathbb Z\}=\{59+156k \: | \: k \in \mathbb Z\}$

olur ve birlesimleri tum cozumleri verir.