Enter tuşuna basıldığında rakamların toplamını hesaplayan program (modüler aritmetik)

Question

Bir bilgisayar programı"enter " tuşuna basıldığında ekranda bulunan sayının rakamları toplam i hesaplanmaktadır. Ekranda " 12345....101112....8283" sayısı varken yeteri kadar "enter" tuşuna basılırsa son durumda ekranda hangi sayı görülecektir. 

Comments

Merhaba, sitede soru sorarken dikkat edilmesi gereken pek çok kural var. Bunlardan en önemlilerinden birisi, soru soran kişinin yazdığı soru hakkında kendi denemelerini ve düşündüklerini yazması kuralı. Bu kuralın pek çok nedeni var. Bu konuda lütfen şuradaki yorumu okuyun. Genel kurallar hakkında da lütfen şuraya bakınız.

Önemli anımsatma: Genel olarak kurallara uygun sorulmuş sorular yanıt bulmakta.

---

Hatta soyle soyleyeyim: bu soruya bu sure zarfinda cevap yazmis olabilirdim fakat site politikamiz geregi sizin emekleriniz gostermeniz gerekli.

---

Kolay gelsin elimde cevabı yok ugrastikca bütün siklari buluyorum

---

Ugraslarinizi belirtmeniz mumkun mudur, lutfen.

---

kayıt olma aşamasından itibaren 4 yerde soru kuralları kocaman yazıyor ama gene de okumadan nasıl buralara kadar gelip emeksiz soru soruluyor cidden anlamıyorum.

---

Aman admin canım admin, oluyor, olacak. Bu işler böyle. Elbet insan kızıyor ama sabırla doğruya işaret etmek uzun vadede en iyi yoldur.

---

@admin'e katiliyorum.

Answer 1

En sonda tek bir basamak gozukecegini kestirmek zor degil. Yani $$0,1,\cdots,9$$ sayilarindan birisi belirli bir sureden sonra sabit bir sekilde devam edecek. 

Bir sayidan rakamlari toplamini cikartirsak bu sayi $9$ tam sayisina tam bolunur. Dolayisiyla her Enter tusu basiminda $9$ ile bolumunden kalan esit olacaktir. 

Sorun su ki eger kalan sifir ise son elde edecegimiz $$0 \;\; \text{ ya da }\;\; 9$$ olacaktir. Bu durum disinda sonucu dogru tahmin edebiliriz. 

Gerisini soru sahibine birakiyorum. 

________________________

Ek olarak bir soru: $$123\cdots 8283$$ sayisinin $9$ ile bolumunden kalan ile $$1+2+3+\cdots+82+83$$ sayisinin $9$ ile bolumunden kalan ayni midir? Ayni ise ikincisi kullanilabilir.

Comments

$10\equiv 1 \mod 9$ olduğundan sayıları en son yaptıgımız gibi parçalayıp 9 a bölumune bakabılırız misal $123\cdots 8283$ için $82$'yi ayırırsak $82.10^n$ oluyor. Yani son varsayım doğru.

---

ayrıca alttakini hesaplamak için de $1+2+3+....+9$ 'un toplamının 9 ile kalanına bakıp diyelim $a$ kalanı varsa(hesaplamaya usendım) $82=9.9+1\equiv a+1\mod 9$ olur.

---

Rakamları toplamına bakmak aslinda yeterli. Ustekinde de ayni rakamlar var alttakinde de.