Question

$a\neq b$  olmak üzere ;

$\dfrac {a}{x}+\dfrac {b}{y}=a$

$\dfrac {b}{x}+\dfrac {a}{y}=b$

$\dfrac {xy}{y-x}$ kaça eşittir ? Cevap :1

a ve byi taraf tarafa topladım

$\dfrac {a+b}{x}+\dfrac {a+b}{y}=a+b\\$

$\dfrac {y\left( a+b\right) +x\left( a+b\right) }{xy}=a+b\\$

$\dfrac {\left( a+b\right) .\left( x+y\right) }{xy}=\left( a+b\right)$ 

$\dfrac {x+y}{xy}=1$ buldum sonrasını getiremedim.Bu şekildemi olacak yoksa başk bir yöntemi var mı ?

Comments

\neq kodunu yazarken sonradan koyduğun harf bitişik olmamalı $a\neqb$ yazarsak böyle geliyor ama boşluk bırakırsak \neq ile b arasında $a\neq b$.

Answer 1

$1.$ ve $2.$ eşitlikleri $xy$ ile çarpalım:

$$ay+bx=axy \text{   ve  } ax+by=bxy$$ daha sonra bunları birbirinden çıkarsak  $$a(x-y)-b(x-y)=-(a-b)xy$$ $$\Rightarrow (a-b)(x-y)=-(a-b)xy$$   $\dfrac{xy}{x-y}=-1\implies \dfrac{xy}{y-x}=1$ bulundu. Üstte normalde $b(y-x)$ var ama $-(y-x)=(x-y)$ olduğunu kullanarak bu durumu değiştirdim.

Answer 2

Verilen eşitlikleri taraf tarafa çıkaralım.

$$\frac ax+\frac by-\frac bx-\frac ay= a-b$$

$$\frac {a-b}{x}-\frac{a-b}{y}= a-b$$

$$\frac 1x-\frac 1y=1\Rightarrow \frac{y-x}{xy}=1$$ Buradan 

$$\frac{xy}{y-x}=1$$ olur.