8 veya 10 ile tam bolunebilen doğal sayılar küçükten büyüğe doğru....

Question

8 veya 10 ile tam bölünebilen doğal sayılar küçükten büyüğe doğru sıralandığında baştan 61. Sayı kaçtır?

8 10 16 20 24 diye gidiyor yanlis degilse. Çift sayilar 10un katına denk geliyor 10un katlarini 5e boldugumuzde ise kaçıncı terim olduğunu gösteriyor. 300/5 60. Terim oluyor benim mantığıma göre 61. Terim ise 300den sonraki 8 ile tam bölünebilen 304 oluyor. Cevap 300 diyor Nerede hata yapiyorum?

Comments

Sifiri da dogal sayi olarak sayinca...

Answer 1

Soruda verilen cikarim dogru. Cift olanlar hep $10$un kati olarak gidiyor. Bu her zaman olmayabilir. Genel olarak bu soru asagidaki gibi cozulebilir:

$40$ hem $8$'e hem de $10$'a tam bolununur, hatta en kucuk ortak katlari. Dolayisi ile istenen sayilardan $40$ cikarttigimizda da $8$'e ya da $10$'a tam bolunurler ve dolayisiyla  $$8,10,16,20,24,30,32,40$$ sayilarina kadar indirgeyebiliriz. Burada sekiz tane sayi var ve   $$61=7\cdot\boxed{ 8 }+5.$$ Dolayisiyle istenen sayi, sifiri katmazsak,  $$7\cdot 40+24=304$$ olur. 

Eger sifiri katarsak $$0,8,10,16,20,24,30,32$$ olarak yazmak daha iyi olur ve buradaki $5$. terim  $20$ oldugundan $61.$ terim  $$7\cdot 40+20=300$$ olur. 

Comments

Teşekkürler 

---

$8\mathbb N+10\mathbb N$ kümesinin formulü nedir, bunu bulsak hemencecik çıkar

Düzeltme:

$8\mathbb N+10\mathbb N$  kümesi ile

$8\mathbb N\cup 10\mathbb N$ kümesi farklı çünki $8\mathbb N+10\mathbb N$ sorudaki anlamı içermiyor bu kümede 10+8=18 gibi elemanlar var ama soruda öyle şeyler yok.

---

Kumenin formulu? Eger siralamayi diyorsan zaten cevapta nasil siralanacagi var.

---

genel olarak bunun gibi bişey demek istedim $m\mathbb N+n\mathbb N=\{f_k(m,n):f_k(m,n):=mx+ny, \forall k\in\mathbb N,f_k(m,n)<f_{k+1}(m,n)\}$ gibi bir tam sıralı küme nasıl yapabiliriz.(x,y dogal sayı)

cevapta yaptıgın yontemle bu genel formulu cıkarmanın aynı şey oldugunu goremedım. aynı şey mı

---

öklid algorıtması kullanıp, cevapta yaptıgın gıbı tekrar eden bır serı ayarlamak gerek, ama oklık algorıtmasını kullanıp da analtık bır formul bulamadım. bilmem anlatabıldım mı

---

$8$ ve $10$ ile baslayip $n$ ve $m$ olarak devam ediyorsun. Bir de $+$ degil de $\cup$ olmali arada. 

---

Soru için $\cup$ dogru olur.

Ben bu $m\mathbb N+n\mathbb N$ cinsi kümeleri test etmeden hemen zıpladım bu sorudaki anlamı verdiğini düşündüm ve formule etmeye calıstım o yuzden ... Dolayısıyla yukarıda tanımladığım $$m\mathbb N+n\mathbb N=\{f_k(m,n):f_k(m,n):=mx+ny, \forall k\in\mathbb N,f_k(m,n)<f_{k+1}(m,n)\}$$ kümesini nasıl çıkarırız diye sordum, soruyla ve senin cevapla alakalı olarak.(farklı şeyler oldukları için kafam karışmış)

---

hatta ek olarak $m\mathbb N+n\mathbb N:=\displaystyle\bigcup_{k=0}^\infty\bigcup_{j=0}^\infty\{mk+nj\}$ olarak tanımlayınca tam istediğim kümeyi elde ediyorum ama bu kümenin iyi sıralı "well-ordering" özelliğini sağlamasını istiyorum, bunu yapabilmek için eğer $m>n$ ise m ve n arasındaki $m=tn+j$ özelliğini kullanıp yapmaktan başka bişey aklıma gelmedi.

---

Sitede bununla ilgili sorular vardi. Belirli bir sayidan sonra helsini kapsiyor zaten. O zaman belirli bir sayidan oncekileri saymak yeterli.  Buradan yola cikabilirsin.

---

 ben de oyle dusundum misal 2 ve 3 alırsak evet ama ya m ve n çiftse? tek dogal sayıları kapsayamıyor ki bu kume

---

Ebob katlari demek daha dogru, tabii.