(X,M,m) ölçü uzayı olsun. Eğer M sonsuz eleman içeriyorsa card(M) büyük eşit card(R) dir

Question

(X,M,m) bir ölçü uzayı olsun. Eğer M sonsuz sayıda eleman içeriyorsa card(M) büyükeşit card (R) olur

Comments

Merhaba EceU,  sitede soru sorarken dikkat edilmesi gereken pek çok kural var. Bunlardan en önemlilerinden birisi, soru soran kişinin yazdığı soru hakkında kendi denemelerini ve düşündüklerini yazması kuralı. Bu kuralın pek çok nedeni var. Bu konuda lütfen şuradaki yorumu okuyun. Genel kurallar hakkında da lütfen şuraya bakınız. 

Önemli anımsatma: Genel olarak kurallara uygun sorulmuş sorular yanıt bulmakta.

Answer 1

Aşağıdaki iki önermenin ispatı size bırakılmıştır:

Önerme 1: $M$'nin sonsuz sayıda elemanı varsa, $M$ ayrık kümelerden oluşan sayılabilir sonsuz bir altkümeye sahiptir. Yani $\exists \{A_k:k\in\mathbb{N}\}\subseteq M$ öyle ki $k\neq j \Rightarrow A_k\cap A_j=\emptyset$.

Hatırlatma: $G$ kümesi, $X$'in altkümelerinin bir kümesi olsun. $G$'yi içeren en küçük $\sigma$-cebire, $G$'nin ürettiği $\sigma$-cebir denir. 

Önerme 2: $\{A_k\in M:k\in\mathbb{N}\}$ ayrık kümelerden oluşsun ve ürettiği $\sigma$-cebiri $\mathcal{A}$ ile gösterelim. $\Phi:2^{\mathbb{N}}\to\mathcal{A}$,  $$\Phi(F) = \bigcup_{n\in F} A_n$$  ile tanımlanan fonksiyon birebirdir.

Teorem:  $M$ sonsuz elemanlı bir $\sigma$-cebir ise $card(M) \geq card(\mathbb{R})$.

İspat: Önerme 1 bize ayrık kümelerden oluşan bir $\{A_k\in M:k\in\mathbb{N}\}$ verir. Bunun ürettiği $\sigma$-cebir (yukarıdaki gibi) $\mathcal{A}$ olsun. $\mathcal{A}\subseteq M$ olduğu için $card(\mathcal{A})\leq card(M)$.

İkincisi, Önerme 2'den $card(2^{\mathbb{N}})\leq card(\mathcal{A})$ elde edilir. 

Hepsi beraberce $card(\mathbb{R}) = card(2^{\mathbb{N}})\leq card(\mathcal{A})\leq card(M)$.