Question

$(X,d)$ metrik uzay,  ve $\emptyset\neq A\subseteq X$ olmak üzere $$x,y\in X\Rightarrow |d(x,A)-d(y,A)|\leq d(x,y)$$ olduğunu gösteriniz.

Not: $(X,d)$ metrik uzay, $\emptyset\neq A\subseteq X$ ve $x\in X$ olmak üzere 

$$d(x,A):=\inf\{d(x,a)|a\in A\}$$

Answer 1

$\left.\begin{array}{rr} (x\in X)(a\in A)\Rightarrow d(x,A):=\inf\{d(x,a)|a\in A\}\leq d(x,a) \\ \\ (x,y\in X)(a\in A\subseteq X)\Rightarrow d(x,a)\leq d(x,y)+d(y,a)\Rightarrow d(x,a)-d(y,a)\leq d(x,y)\end{array} \right\}\Rightarrow$

$\Rightarrow d(x,A)-d(y,a)\leq d(x,a)-d(y,a)\leq d(x,y)$

$\Rightarrow d(x,A)-d(x,y)\leq d(y,a)$

$\Rightarrow d(x,A)-d(x,y)\in \{d(y,a)|a\in A\}^a$

$\Rightarrow d(x,A)-d(x,y)\leq d(y,A)$

$\Rightarrow d(x,A)-d(y,A)\leq d(x,y)\ldots (1)$

Benzer şekilde 

$$-d(x,y)\leq d(x,A)-d(y,A)\ldots (2)$$ bulunur. O halde

$$(1),(2)$$

$$\Rightarrow$$

$$-d(x,y)\leq d(x,A)-d(y,A)\leq d(x,y)$$

$$\Rightarrow$$

$$|d(x,A)-d(y,A)|\leq d(x,y).$$

Not: $\{d(y,a)|a\in A\}^a:=\{x| z\in \{d(y,a)|a\in A\}\Rightarrow x\leq z\}$ 

yani $\{d(y,a)|a\in A\}^a$ kümesi, $\{d(y,a)|a\in A\}$ kümesinin alt sınırlarının oluşturduğu küme.