Question

$x,y\in\mathbb{R}$ olmak üzere

$$-5<x< 7\mbox{  } \text{  ve  } -10<x-y<8$$ olduğuna göre $y$'nin alabileceği tamsayı değerlerinin toplamı nedir? 

 ben ikinci denklemi eksi ile çarpıp birinci denklemle taraf tarafa topladım 17> × > -13 çıktı neden yanlış takildigim yer gidiş yolum mu mantık dısı yardım.

Comments

Zaten doğru bulmuşsunuz, eğer ikinci denklemi $-$ ile çarparsanız $-8<y-x<10$ olur ve bunu birinci denklemle toplarsanız da;

$$-5-8<x+y-x<7+10$$

$$-13<y<17$$ çıkar.

---

Çözümünüz doğru fakat soru ne istemiş?

---

<p> Mehmet toktaş hocam soruda ynin alabilecegi degerlein toplamini sormuş cevapta ynin aralığı 5 ile eksi1 arasında 5 e ve -1 eşit.burdanda y nin degerlerinin toplami 14 
</p>
 
<p>
     Zaten benim buldugum y nin deger araligi soruyu saglamaz yani ilk denklemi y yerine ilk denklemde 15 yazarsak × 22 alabilir fakat xin deger aralıgı  -5&lt; X &lt; 7 bu eşitsizligi saglamaz
</p>
 
<p>
    <br>
</p>

---

Doğru saglamiyor şöyle düşünmeliyiz  $-5<x<7$ iken $y$ aralığını çıkarttığımızda $-10<x-y<8$ oluyor. $a<y<b$ diyelim $-$ ile carptigimizda $-b<-y<-a$ olmaz mı ve $-5-b=-10$ ayrıca $7-a=8$ buradan $b=5$ ve $a=-1$ çıkar yalnız eşitsizlikleri toplarken birinde eşitlik ihtimali varken diğerinde yoksa eşitlik ihtimallerini almazdik yani $-1\leq y \leq 5$ diyebiliriz. Sonuçta bu değerler alınabilir çünkü. Oradan da tamsayi değerleri toplamı $14$ bulunur.

---

<p> Hocam peki neden ilk mantık olmadı hani bunun biraz daha yorumsal olarak yaklaşımı varmı biraz zorladım ama gerçekten tam kavrayamadım bu ve benzeri sorularda mesela 2 &lt; a &lt; 5 ve 7&lt; a+ 2 &lt; 15 eşitsizlikleri verilip a.(a+2) ifafesinin araligi istendiginde eşitsizlikleri neden taraf tarafa çarpmayıp (a+1)nin karesi nden 2cıkartıp işleme gidiyoryz bu soru tarzlarında neden yaptigim eşitsizlikler olmadı
</p>
 
<p>
     Yani ilk soruda - ile çarpıp taraf tarafa toplarken eşitsizlik kurallarına aykırı bisey yapmış mı oluyoruz aynı şekilde bu ifadede esitsizlikleri taraf tarafa carpıp a.(a+2) yi yakalamak kural dışı mı hocam biraz daha aydınlatsanız çok güzel olacak teşekkürler
</p>
 
<p>
    <br>
</p>

---

 Eşitsizlikler kafa karıştırıcı olabiliyor, burada tamkareye tamamlamak doğru hareket çünkü eğer a negatif ve pozitif tamsayıların olduğu bir aralıkta olsaydı $a^2$ $a$'dan farklı bir boyutta oluyor, Negatif sayıları atıyor ve üst sınırı mutlak değeri küçük olan sayının karesine göre belirliyor, bazı durumlarda iki yol da doğru sonuç verebilir ama rastlantısal, $a^2$ ve $a$'yı aynı boyutta görmek istiyorsak tamkareye tamamlamalıyız. (Dipnot: $(a+1)^2-1$ yapmalıyız $2$ değil)

Answer 1

Konunun daha iyi anlasilmasi icin sunlari yazayim:

Pozitif gercel sayilar toplamaya gore kapalidir. Ornegin, bildigimiz uzere  

$$1+1=2$$ $$2+2=4$$ $$\sqrt3+\sqrt5$$ olarak yine pozitif gercel sayilarin icerisine duser.

Iki tam sayi arasindaki $>$ siralamasini soyle tanimliyoruz: $a$ ve $b$ gercel sayilar olmak uzere $$b-a \in  \mathbb R^+$$ ise $b>a$ deriz. 

Sunu hatirlamakta fayda var. Bir gercel sayi icin uc durum soz konusudur ve bunlardan tam olarak biri saglanir. $a$ bir gercel sayi ise 
1) $a=0$
2) $a \in \mathbb R^+$
3) $-a \in \mathbb R^+$ olur.  (Bu durumda bu sayiya negatif deriz).

Bu baglamda
1) $b-a=0$ ise  $b=a$
2) $b-a \in \mathbb R^+$ ise $b>a$
3) $-(b-a) \in \mathbb R^+$ yani $a-b  \in \mathbb R^+$ ise de $a>b$ ya da ayni manadaki tanim ile $b<a$ deriz. 

Eger esitlikleri de katmak istersek $\ge$ ve $\le$ isaretlerini kullaniriz.


Soruna gecersek: (Bir kismi icin)

1) $y-x<10$ su demek $10-y+x$ pozitif gercel sayi olmali. 
2) $x<7$ demek $7-x$ pozitif gercel sayi olmali demek.

Dolayisiyla toplamlari da pozitif olur. Yani

$$(10-y+x)+(7-x)=17-y$$ pozitif olur. Bu da $$17-y>0$$ yani $$17>y \;\;\; \text{ ya da } \;\;\;y<17$$ oldugunu verir.

Comments

Sercan hocam fakat ynin aralığı eksi1 e eşit eksi 1 den buyuk ve 5 e eşit 5 ten büyük fakat siz y nin üst sınırınnı 17 buldunuz soruda 5 diyor yada ben mi anlamadım anlatmak isteduklerinizi anladım da burdan ynin alt ve üst sınırını nasıl çekeriz

---

Tamam hocam pardon bir kısmı için demişsiniz özür dilerim tamam görmedim orayı sonuca gitmediğinizi belirtmişsiniz bir yaklaşım yapmışsınız