$n$ tane çemberin $n(n-1)$ noktada kesişebildiği çemberler örneği

Question

$n$ tane `aynı olmayan' çemberin (eğer dogru ise) en fazla $n(n-1)$ noktada kesişeceğini ve bunun bir şekilde sağlanacağını gösteriniz.

1) İki `farklı' çember en fazla iki noktada kesişir. (Bunu ispatlayınız. Neden 3 ya da 4 ya da daha fazla değil de 2).

2) İlkinden dolayı (eğer dogru ise) şunu soyleyebiliriz: üst sınır $n(n-1)$.

3) Peki her $n>1$ için bu üst sınırın sağlandığı bir çember ailesi bulabilir miyiz?

 
Ilgili diger bir soru: http://matkafasi.com/109289/

Comments

2 çember en çok sonsuz noktada kesişmez mi?

---

Es olmayan olarak eklemek gerekli. Tesekkurler.

---

Kesim noktalarının sayısı için analitik olarak şöyle düşünülebilir: Çemberlerimizi kolaylık olsun diye $x^2+y^2=r_1^2$  ve  $(x-a)^2+y^2=r_2^2$ şeklinde alalım. Birincisinden $y^2=r_1^2-x^2$....(1) değerini diğerinde yerine yazarak elde ettiğimiz $x$  değerini (1) de yerine yazdığımızda iki farklı $y$ buluyorsak iki farklı çember en çok iki noktada kesişir deriz. Tek değerimiz varsa çemberler teğet, çözüm yoksa çemberler ayrıktır deriz. Aynı soruyu farklı elipsler için sorduğumuzda en çok kesim noktası sayısı 4 olur ama buradaki kuadratik denklemin maksimum 2 adet köke sahip olması argümanı ile bu nasıl bağdaşır bilmiyorum şu an.

---

Üst sınır $2.C(n,2)=n(n-1)$ değeri her zaman sağlanmaz(çemberler ayrık ya da eş iseler). Çemberlerin merkezleri arasındaki $d$ mesafesi yarıçaplar toplamı  $r_1+r_2$ den büyükse üst sınır değeri sağlanır.

---

Elipsten fark burada kat sayilar ayni. Yani $x^2$'ler birbirini goturunce sadece bir tane $x$ koku gelebilecek ve buna karsilik $2$ tane $y$. Fakat elipste $x^2$ kalacak.. Dolayisiyla $0$, $1$ ya da $2$ kok gelecek...

Evet saglanmadi durumlar var. Fakat saglandigi durum her $n$ icin var mi?

---

Cemberleri birbirlerinin kesim noktasindan gecirirsek saglanmaz elbet.

---

Alper, saglamayan zaten var. Bunda hemfikiriz. Saglayan var mi? Soru bu. (Yanlis mi ifade ettim yoksa).

Ornegin, $n=2$ icin ya da $n=3$ icin kolaycana ornekler verebiliriz. Oyle iki cember var ki $2$ noktada ya da oyle $3$ cember var ki $6$ noktada kesisir gibi...

Answer 1

Düzlemde yarıçap uzunlukları farklı iki çember $Ç_1(O_1,r_1),Ç_2(O_2,r_2)$ olsun. Bu iki çember kesiştikleri nokta sayısına göre üç farklı durumda bulunur.

1) Ortak noktaları yoktur. Yani kesişmezler. Bu durumda merkezler arası uzaklık ya  $|O_1O_2|>r_1+r_2$  ya da  $|O_1O_2|<|r_1-r_2|$ dır.

2)Bir ortak noktaları vardır. Bu durumda  ya $|O_1O_2|=r_1+r_2$ (dıştan teğettirler) ya da $|O_1O_2|=|r_1-r_2|$ (içten teğettirler) dir.

3)İki ortak noktaları vardır. Bu durumda da $|r_1-r_2|<|O_1O_2|<r_1+r_2$ dir.

Şimdi iki farklı çemberin en çok iki noktada kesiştiklerini  ispatlamaya çalışalım.

$r_1\neq r_2$ olmak üzere $Ç_1(O_1,r_1)\capÇ_2(O_2,r_2)= \{A,B\}$ olsun. Varsayalım ki bu iki çemberin $A,B$ den başka üçüncü bir $C$ ortak noktası daha var. 

Burada $[AB],[AC],[BC]$ bu iki çemberin ortak kirişleridir. Merkezden kirişe inilen dikme kirişi ve ayırdığı yayları ortalayacağından $[AB]\bot[O_1O_2]$ dir. Aynı şekilde $[CB]\bot[O_1O_2]$ dir. Bir noktadan bir doğruya iki farklı dikme indirilemeyeceğinden 

$[BA]$ ile $[BC]$ çakışık olmalıdır. $|BA|>|BC|$ ve $|BA|<|BC|$ durumlarında $C$ noktası çemberlerin üzerinde olamayacağından, ya böyle bir $C$ noktası olamaz ya da  $A$ noktası ile $C$ noktası çakışıktır. Benzer olarak arakesitin 4 ve daha fazla nokta içermesi durumlarında da aynı yorum yapılabilir. Demek ki  iki farklı çemberin en çok iki kesim noktası var. 

$n$ farklı çemberin en çok $n(n-1)$ kesim noktasının varlığı için ispat:

İki farklı çember birbirini en çok $2$ noktada keser.

Üçüncü çember bu ikisinin her birini iki noktada keseceğinden elde edilen nokta sayısı: $2+4$ dır.

Dördüncü çember kendisinden önceki üç çemberin her birini iki noktada keseceğinden elde edilecek nokta sayısı $2+4+6$ dir. Böyle devam edilirse 

Tüm kesim noktaları toplamı: $2+4+6+8+...+2n-2=2(1+2+3+4+...+n-1)=n(n-1)$ olur.Bu en fazla olan sınır değerdir.

Comments

Galiba asil soru olan 3. soruya cevap vermemissiniz hocam?

---

Tabii ki çemberlerin merkezlerinin konumuna göre durum değişir. Mesela merkezler doğrusal ise, üst sınır sağlanmaz.

---

Hocam saglamayan elbet bir suru var. Soru su: saglayan her zaman var mi? Ya bir ornek verecegiz saglayan ya da tum durumlarin saglamadigini gosterecegiz. (Curutmek icin).

Answer 2

Ilk iki soru basit, sadece soruya isinma amacli. Buradaki asil amac ust siniri saglayan bir cember ailesi insa etmek.

Yari caplari $n$ olan ve merkezleri $$(0,0), \cdots, (n-1,0)$$ olan cemberler bu ust siniri saglar. Bunu ispatlayalim.

Diyelim ki $0\le k_1 < k_2 \le n-1$ icin $(x,y)$ $$(x-k_1)^2+y^2=n^2 \;\;\; \text{ ve } \;\;\; (x-k_2)^2+y^2=n^2$$ denklemlerini sagliyor. Bu durumda (farklarini alirsak) $$(x-k_1)^2-(x-k_2)^2=0 \ \ \ \text{ yani } \ \ \  (k_2-k_1)(2x-k_1-k_2)=0$$ olmali. $k_2\ne k_1$ oldugundan $$x=\frac{k_1+k_2}{2}$$ olmali. Buna karsilik gelen y kordinantlari ise $$y=\pm \sqrt{n^2-\left(\frac{k_2-k_1}{2}\right)^2} \ne 0$$ olur. 


Hepsinin iki farkli noktada kesistigini gosterdik. Bir noktadan ikiden fazla cember gecmeyecegini ispatlayalim. Baska iki cember de bu noktalarda kesissin diyelim ve bunlara karsilik gelen degerler $k_3<k_4$ olsun. Bu durumda $$\frac{k_2+k_1}{2}=\frac{k_4+k_3}{2} \ \ \ \text{ ve } \ \ \ \frac{k_2-k_1}{2}=\frac{k_4-k_3}{2}$$ saglanir; yani $$k_1=k_3 \ \ \ \text{ ve } \ \ \ k_2=k_4$$ saglanir. Demek ki $$\{(k,l) \ :\ 0\le k<l<n-1\}$$ kumesindeki her elemana karsilik iki tane farkli farkli kesisim noktasi geliyor.