GL(2, $F$) nin unipotent regüler elemanları

Question

$F$ bir sayı cismi olmak üzere GL(2,$F$) nin unipotent regüler her $\gamma$ (regüler eleman, merkezleştiricisinin boyutunun minimal olması anlamına geliyor) elemanı $\epsilon \in GL( 2,$F$)$ ve $y \in F^{\times}$ ( $F^{\times}$,  $F$ nin terslenebilir elemanlarının grubunu göstermektedir) olmak üzere $\gamma= \epsilon^{-1}\begin {pmatrix} 1 & y \\ 0 & 1 \end {pmatrix}  \epsilon$ formunda yazılabilir mi? Yazılabilirse bu şekilde yazılabildiğini nasıl gösterebilirim?

Comments

Sorunuzdaki terimlerin ve sembollerin ($F^{\times}, G(F), G(2, F)$ gibi) tanımlarını verebilirseniz konuyu bilmeyenler de sorunuzla uğraşabilirler. Bâzıları gidişten anlaşılıyor ama, yine de tanımlarına ihtiyâç var.

Teşekkürler.

---

Yorumunuz için teşekkür ederim. Dediğiniz gibi bazı sembollerin ne anlama geldiğini yazmamışım (Soru üzerinde düzeltme yaptım).Unipotent matrisin tanımını da lisans bilgisi olduğu için yazmadım ama regülerlik bilinemeyebileceği için regülerliğin tanımını yazma gereği duydum. Teşekkürler uyardığınız için.

---

Sanırım soruda bir hata var, yazdığınız matrisin ($\gamma$)  özdeğerleri eşit (ikisi de 1) dolayısıyla (sizin yazdığınız tanıma göre) regüler değil.

---

Yanlış hatırlamıyorsam unipoten eleman demek $u-1$ nilpotent demek. O zaman $u$ nun bütün özdeğerleri $1$ olur. Bu durumda bir unipotent eleman ayni zamanda regüler olamaz. Yazdığınız eşitlik matrisin Jordan formu yani birim matristen farklı her unipotent matris için doğru.

---

Burada "regüler" determinantı 0 olmamak anlamında olursa iddia doğru oluyor (bir de $y\in F$ olursa). Burada yazdığınız anlamda kullanıldığını ilk kez duyuyorum.

---

Hocam, geç cevap yazdığım için kusura bakmayın. Dediğiniz gibi soruyu hatalı yazmışım. Bu hatamı düzelttim. 

---

Hocam, cevabınız için çok teşekkür ederim. Dediğiniz gibi regülerliğin tanımını yanlış yazmışım. Bu hatamı düzelttim.