İki kompleks sayının EBOB u nasıl alınır?

Question

 EBOB u da bir komleks sayı ise ispatı hakkında ne söylenebilir ?

Comments

Bu soruyu rasyonel sayılar cismi $\mathbb{Q}$ için sorsak nasıl yanıt verebiliriz? Bu konuda bir fikriniz var mı?

---

Kompleks sayıları ve rasyonel sayıları ikililer şeklinde ifâde etmek mümkündür. Böyle bir tanımlama ile, yapısal açıdan aşağıda yazılanların uygulanması mümkün olmalı.  

---

Rasyonel sayılarda;

Adım1)Paydalar eşitlenir.

Adım2)Obeb soruluyorsa, sadece payların obebi alınır.

Okek soruluyorsa sadece payların okeki alınır.

Adım3)Paydaya genişletilmiş payda yazılır ve oranlanır

Örnek: 3/4 , 1/3 , 5/6 rasyonel sayıları verilsin..

Payda eşitleyelim: 9/12 , 4/12 , 10/12

Obeb(3/4 , 1/3 , 5/6) = Obeb(9,4,10)/12 = 1/12

Okek(3/4 , 1/3 , 5/6) = Okek(9,4,10)/12 = 180/12 = 15

Ya da kısa yol olarak payda eşitlemeden bir yöntem var; 

PaylarınEKOKU/PaydalarınEBOBU = Sayının Ekoku , tersini alındığında da ebobu bulunur.

Answer 1

$\mathbb Z[i]=\{a+ib: a, b \in \mathbb Z, i^2=-1\}$ kümesine Gauss tamsayıları (GT) deniyor. Bu sayılar için bölünebilmenin tanımı şöyle veriliyor:

Tanım: $\omega, z$ GT olsunlar. $z=v\cdot\omega$ eşitliğini sağlayan bir $v$ GT varsa, o zaman, $\omega$, $z$'yi bölüyor denir ve $\omega|z$ yazılır.  $\omega$'ya $z$'nin böleni denir. 

İleride lâzım olacak bir kavram da norm'dur ve tanımı kompleks sayıların normunun karesidir: 

Tanım: $z=x+iy$ GT olsun. Norm $N(z)=|z|=x^2+y^2$ şeklinde tanımlanır. Normu $1$ olan GT'ye birim denir. 

Normun önemli ve kolaylıkla isbât edilebilecek bir özelliği çarpımsal olmasıdır: $N(a\cdot b)=N(a)N(b)$. 

Burada da Öklit algoritmasına benzeyen bir bölme algoritması vardır. Yalnızca, kompleks sayılar sıralı olmadıkları için burada, normların küçüklüğü-büyüklüğü belirleyici oluyor:

Teorem (Öklit Bölme Teoremi): Sıfırdan farklı her $x, y$ GT'si için $q, r$ GT'leri vardır, öyle ki $N(r)<N(x)$ ve $x=qy+r$. $y$, $x$'i ancak ve ancak $r=0$ ise böler.

Bu teorem kullanılarak, bölüm ve kalanlar da bulunabilir:

Öklit Bölme Teoremi Algoritması:

Sıfırdan farklı her $x,y$ GT'si için bölüm $q$ ve kalan $r$ GT'leri bulmak için âdî anlamda bölme yapıp $x/y=u+iv$ şeklinde yazılır ve $u, v$ sayıları kendilerine enyakın $U, V$ tamsayılarına yuvarlanırlar. Sonra da, aranan sayılar $q=U+iV$ ve $r=x-qy$ şeklinde bulunur. 

Artık EBOB'un tanımını verebiliriz:

Tanım (EBOB): İki GT $z, \omega$'nın ortak böleni, bu iki sayıyı bölen $y$ sayısıdır. En büyük ortak bölen ise bu ortak bölenlerin normu en büyük olanıdır.

Burada önemli bir fark var. İki GT'nin birden fazla EBOB'u olabilir. $A$ kümesi $z, \omega$'nın EBOB'larının kümesi olsun. Eğer, $N(z)\geq N(\omega)$ ise Öklit algoritmasından $z=q\omega+r$ yazılır. Eğer $g\in A$ ise yani $\omega$ ve $r$'nin EBOB'u ise o zaman, kalan sıfır oluncaya kadar bu devam ettirilir.

Çok lâf kafa şişirir. Bir örnekte görelim:

Örnek: $\frac{3+2i}{1+i}$'nin EBOB'unu bulalım. Önce bölme algoritmasının uygulayalım: $$\frac{3+2i}{1+i}=\frac{5}{2}-i\frac{1}{2}$$ Buradan yuvarlamadan sonra bölüm $q=2-i$ bulunur; yâni, $U=2, V=-1$. Dolayısıyla, $$3+2i=(2-i)(1+i)+i$$ şekline yazılır. $(1+i)=(1-i)i$ şeklinde yazılabildiği için: $$3+2i=(2-i)(1-i)i+i=[(2-i)(1-i)+1]i$$  hâlini alır.

Sonuçata ne alındı?

$$3+2i=(2-i)(1-i)i+i=[(2-i)(1-i)+1]i$$

$$(1+i)=(1-i)i$$ Bu iki ifâdeden, EBOB'un $i$ olduğu görülür. $N(i)=|i|=-1$ olduğundan bu iki sayı aralarında asaldır.  

Tamsayılarda yaptıklarımızın güzel bir genişlemesi!