$\mathbb Q$'yu içeren ama $\mathbb R$'ye eşit olmayan açık bir küme bulmak.

Question

Bu durumu göstermek istiyorum, denediğim yöntem aşağıda. Yöntemime güvenmeme rağmen tam olarak uygun olduğunu düşünmüyorum. İspatı yapabilmem için, yöntem, ipucu veya direkt başka ispatlar bekliyorum.

İspat denemem:

İlk olarak açık küme tanımını vereyim,

Açık küme: $\mathbb R$'nin, açık aralıklarının birleşimi şeklinde yazılan alt-kümeleri açık kümelerdir.

$\mathbb Q$ sayılabilir bir küme olduğundan dizi şeklinde sıralanabilir, $a,b$, $\mathbb Q$'nun farklı herhangi $2$ elemanı olsun, her $a,b$ için şöyle bir küme tanımlansın. $S:=\{|a-b| \;|\; a,b\in \mathbb Q, a\neq b \}$, küme boş olmadığından misal $0,1$ için $|0-1|$ olduğundan bu kümenin infremumu vardır ve $\inf S>0$ dır.($\inf S=0$ ancak ve ancak $a=b$ ise.) Dolayısıyla şu küme istenilene denktir.

$$\forall \epsilon\left(\dfrac{\inf S}2>\epsilon>0\right),\quad\displaystyle\bigcup_{q\in\mathbb Q}\left(q_i-\left(\dfrac{\inf S}2-\epsilon\right),q_i+\left(\dfrac{\inf S}2-\epsilon\right)\right)$$

Yani: Q dizi şeklinde yazılır diyorum, tüm $q\in\mathbb Q$ ların çoook küçük aralık olan komşuluklarına bakıyorum ardışık 2 rasyonel arasında aralık kapsamına girmeyen irrasyoneller bırakıyorum ve Q'yu içeren ama R'ye denk olmayan bir küme buluyorum.

Comments

$\inf S=0$ degil mi?

---

basta oyle dedim ama farkli rasyoneller aldigimiz icin sorun olmaz gibi gelmişti, sanirim en iyi ifade "min" olur, eğer min olarak bakarsak var mi bir sıkınti ?

ekleme: sanmayi birakip inf tanimini dusunsem direk gorcekmisim, ispatin aciklamasina gore dusundugum icin olmus, inf S= 0.

---

Sorunun Doğan Hoca'nın verdiği gibi şık ve non-trivial bir cevabı olması için kümenin tümleyeninin sayılamaz olduğunu da talep etmelisin bence. Aksi halde $\mathbb{R}-\{\sqrt{2}\}$ istenilen özellikte bir açık küme :).

---

@Burak, acik araliklarin birlesimi oldugu icin bu tarz "tricky" cevaplari eliyoruz sandim, verdiginiz R-{2} ornegi acik aralik veya acik araliklarin birlesimi oluyor mu? Hani a ve b reel sayi olursa ve b a'dan buyukse, (a,b)\{(a+b)/2} gibi bir aralik acik aralik tanimina uymuyordu sanirim cunki sinirlari arasindaki her degeri almamis oluyor.

---

@Anıl: Bu küme de açık aralıkların birleşimi olarak yazılabilir. Mesela $\mathbb{R}-\{\sqrt2\}=\bigcup_{n \geq 2} (\sqrt{2},n) \cup \bigcup_{n \geq 0} (-n,\sqrt{2})$.

---

tesekkur ederim.

Answer 1

$(q_i)_{i=1}^\infty$ rasyonel sayıların bir sıralaması olsun. $\varepsilon>0$ verilsin.

$$\bigcup_{i=1}^\infty \left(q_i-\frac\varepsilon{2^{i+1}},q_i+\frac\varepsilon{2^{i+1}}\right)$$

istenen özelliktedir. Aralıkların uzunlukları toplamı $\varepsilon$ a eşit olduğu için bu küme tüm $\mathbb{ R}$ olamaz.

Comments

tesekkurler.

---

Bu ornek ile $\mathbb Q$'nun Lebesgue olcumunu de bulabilirsin. Not et, ilerde isine yarar belki...

---

Ediyorum, tesekkurler.

---

null sets'lerin tanımında gördüm. Yukarıdaki birleşim kümeyi kapsıyor ama uzunluğu(ölçümü) herhangi $\epsilon>0$ dan küçük kümeler.