İki Farklı Kapalı Aralıktaki Reel Sayıların Toplamlarının Oranı Nedir? Var mıdır? Yok mudur?

Question

[0,1] aralığındaki tüm sayıların toplamının sonsuz olacağını göstermek zor değildir. Aynı şekilde [1,2] aralığındaki sayıların toplamlarının da sonsuz olacağını göstermek zor değildir. Peki bu aralıklardaki sayıların toplamlarını bir birine oranlarsak bazı değerler elde edebilir miyiz?  Bunu şöyle matematiksel bir problem halinde ifade etmem gerekirse:

Reel Sayılar doğrusu üzerinde, [R;a,b] ifadesi  [a,b] kapalı aralığındaki Reel Sayıların toplamını ifade etsin. [IR;a,b] ise [a,b] kapalı aralığındaki İrrasyonel Sayıların toplamını ifade etsin. Aşağıdaki işlemlerin sonuçları bir sayı mıdır? yoksa sonsuz mudur? Bunları nasıl ispatlarsınız?

1-  [R;0,1]/[R;1,2]=?

2- [R;0,1]/ [IR;0,1]=?

3- [IR;1,2]/ [IR;2,3]=?

4-  Sanı:  Her, a<b<c<d reel sayıları için şu oran bir sayıdır:   [R;a,b]/[R;c,d]

Comments

Şimdi böyle bir orandan söz ederken, toplamlar ıraksak olduğu için sonlu toplamların oranından söz etmek gerekecek. Yani henüz ortada hesabı yapacağımız bir tanım yok.

---

iki ıraksak toplamın oranlarının hiçbir zaman bir sayı olamayacağını mı söylüyorsunuz?

---

Hayır öyle demiyorum. Iraksayan dizilerin oranından söz ediyoruz örneğin. Peki nasıl yapıyoruz bunu, sonlu kısımlarını oranlıyoruz, limitlerini alıp oranlarına bakamayacağımız için. Normalde, ikisinin de limiti olsa, limitlerin oranına bakardık. Yani elimizde $x_n$ ve $y_n$ var ve $\lim x_n/y_n$'i anlamaya çalışıyoruz. Oysa sizin sorunuzda $x_n,y_n$ yok ve karşılaştırmak istediğiniz nicelikler de "sonsuz", yani aritmetik "yapamıyoruz". 

Elbette bunun üstesinden gelinebilir. Mesela doğal sayılar içinde bir altkümenin yoğunluğundan söz ederkenki gibi. Çift sayılar "sonsuz", doğal sayılarda "sonsuz". Öte yandan, sayarken gördüğümüz üzere doğal sayıların yarısı da çift sayı. Bu yarıyı yakalayacağımız bir oranı nasıl tarif ederiz? Şu oran tarif ediliyor genel olarak. $E\subset \mathbb{N}$ olsun ve $p_n$'in şöyle tarif edelim: $$p_n:=\frac{|E\cap\{1,2,\cdots,n\}|}{n}$$ Sonra da $E$'nin doğal sayılar içindeki yoğunluğuna $\lim p_n$ diyelim (elbette bu limit varsa)

Şimdi bu yoğunluk tanımı, sayarken karşılaştığımız sıklığı yakalamaya yönelik. Başka türlü de yoğunluğu tarif edebilirdik ve çift sayıların oranını $1/4$ bulabilirdik. Mesela 

$p_1:=\frac{|E\cap\{1\}|}{1}$

$p_2:=\frac{|E\cap\{1,3\}|}{2}$

$p_3:=\frac{|E\cap\{1,3,5\}|}{3}$

$p_4:=\frac{|E\cap\{1,3,5,2\}|}{4}$

$p_5:=\frac{|E\cap\{1,3,5,2,7\}|}{5}$

$\vdots$

Yani, limitini alacağın oranı nasıl tanımladığın önemli. Sizin sorunuzda bu tanımlı değil.