Her cismin bir cebirsel kapanışı vardır.

Question

Teorem: Her cismin bir cebirsel kapanışı vardır.

İspat için farklı iki yaklaşım:

1. $F$ bir cisim olsun. $F[x]$ polinom halkasındaki tüm sıfırdan farklı polinomları listeyelim ve sırayla splitting cisimler inşa edelim. Farzedelim ki bu sürecin herhangi bir aşamasındayız, $F$'nin bir cebirsel genişlemesi $E$'yi elde ettik ve $f \in F[x]$ split etmesini istediğimiz listemizdeki sıradaki polinom. Şunu biliyoruz: $f$ için $E$'nin üstünde bir splitting cisim $L$ bulabiliriz ve bu cisim $F$'nin bir cebirsel genişlemesidir. $E$'nin üstünde split eden tüm polinomlar hala $L$'nin üstünde de split ediyorlar. Ayrıca $f$ de $L$ üzerinde split ediyor. Bu süreci devam ettirerek listemizdeki polinomları eksiltebiliriz. Yazara "Martin Isaacs'e" göre, bu argümandaki problem $F[x]$'deki polinomları listelemek ve split ettirmek istediğimiz sıradaki polinomu bulmak. 

Sorum şu: Bu polinomları listelemek ve sıradaki polinomu bulmak neden problem? Sezgilerim çok kolay bir iş olmadığını hissettiriyor fakat tam olarak nedenini yazmakta zorlanıyorum.

2. Teoremin ispatı için bir diğer yaklaşım da şu: Bir cismin cebirsel kapanışı, o cismin maximal cebirsel genişlemesidir. O zaman, $F$'nin maximal cebirsel genişlemesini üretmek için $F$'nin tüm cebirsel genişlemelerinden oluşan kümeye Zorn's Lemma uygulayabilirim. Yazar aynı argümanı $F$'nin maximal cisim genişlemesini bulmak için de kullanabileceğimizi söylüyor. Fakat $E(x) > E \supseteq F$ olduğundan bu argüman yanlıştır. Burada ki problem acaba Zorn's Lemma koşullarının sağlanmamasından mı kaynaklanıyor diye düşünürken, problemin aslında $F$ nin cisim genişlemelerinden oluşan kümenin aslında bir küme olmadığını söylüyor.

2. sorum şu: Bu şey neden küme değil?

Comments

Ilk sorun icin: Eger $F$ sayilabilir ise $F[x]$ de sayilabilirdir. Surada kaniti var. Eger $F$ sayilamaz ise, sabit fonksiyonlar bile sayilamazdir, dolayisiyla $F[x]$ de sayilamaz olur. 

Eger $F = \mathbb{Q}$ ise ya da $F$ sonlu bir cisim ise $F[x]$ sayilabilir oldugundan problem olmaz. Zaten pratikte sadece bunlarla oynayacaksin.