Noktanın doğruya olan en kısa uzaklığındaki noktanın koordinatı nedir?

Question

Şekildeki gösterilen örnekte H noktasının koordinatı nasıl bulunur?

Comments

Çerçeve içindeki eşitliğin ispatı mı isteniyor? Yoksa $H$ noktasının koordinatı mı?

---

H noktasının koordinatı isteniyor hocam.

---

Sizin ugraslariniz nelerdir?

---

$H$ noktası $d$ doğrusu ile $AH$ doğrusunun kesim noktası olduğundan, bu ikisinin ortak çözümü ile bulunabilir. Deneyin bakalım.

Answer 1

Bahsi geçen nokta '' bir noktanın bir doğru üzerindeki dik izdüşümünün koordinatlarıdır.''

$A(x_0,y_0)$  noktasının $ax+by+c=0$   denklemli doğru üzerindeki dik izdüşümü $B(x,y)$ olsun.

$ax+by+c=0$ doğrusunun eğimi $-\dfrac{a}{b}$ olduğundan $AB$ doğrusunun eğimi $\dfrac{b}{a}$ dır. halde $AB$ doğrusunun denklemi;

$y-y_0=\dfrac{b}{a}(x-x_0) \Rightarrow ay-ay_0=bx-bx_0\Rightarrow bx-ay=bx_0-ay_0$ olur.

$B(x,y)$ noktasının koordinatları

$ax+by=-c$

$bx-ay=bx_0-ay_0$ 

Denklem sisteminin kökleridir.Birinci denklemi a ikinci denklemi b ileçarpıp taraf tarafa toplayalım.

$(a^2+b^2)x=b^2x_0-aby_0-ac$

$\Rightarrow x=\dfrac{b^2x_0-aby_0-ac}{a^2+b^2}=\dfrac{b^2x_0+a^2x_0-a^2x_0-aby_0-ac}{a^2+b^2}$

$\Rightarrow x=\dfrac{x_0(a^2+b^2)}{a^2+b^2}-\dfrac{a(ax_0+by_0+c)}{a^2+b^2}$

$\Rightarrow \dfrac{x-x_0}{a}=-\dfrac{ax_0+by_0+c}{a^2+b^2}$

elde ederiz.Benzer işlemleri yaparak

 $\dfrac{y-y_0}{b}=-\dfrac{ax_0+by_0+c}{a^2+b^2}$ bulunur.

Buradan Dik izdüşüm noktasının  $B(x,y)$ koordinatları

$\dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}=-\dfrac{ax_0+by_0+c}{a^2+b^2}$

ile bulunur.

ÖRNEK:$A(-2,1)$ noktasının $2x+3y+11=0$ doğrusu üzerindeki dik izdüşüm noktasının koordinatları

$\dfrac{x-(-2)}{2}=\dfrac{y-1}{3}=-\dfrac{2.(-2)+3.1+11}{2^2+3^2}$ eşitliğinden kolayca bulunabilir.

Kolay gelsin.