$x,y\in\mathbb R\quad \text{için}\\ \exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)\quad\text{olur.}$

Question

$$x,y\in\mathbb R$$
için,
$$\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)\quad\text{olur.}$$

Bunu ispatlamak için limitlerin çarpımı kuralını kullanıyorum ancak kitapta uzun bir ispatının konulması tercih edilmiş, aşağıda basitçe yazacagım ispat yerine neden bu ispat kitapta yer almış merak ettim acaba düşündüğüm kural mı güçlü değil yeteri kadar?
 
Basit ispat:

Kullandığım teorem:

$\lim A.B=\lim A.\lim B=L.M$ olmasının yeter ve gerek koşulu $\lim A=L$ ve $\lim B=M$ olmasıdır.Yani, ayrı ayrı limitleri var ise ancak çarpımlarının da limiti, limitlerinin çarpımına eşittir diyebiliriz.

Dolayısıyla $e^x$ ve $e^y$ 'nin limitlerini göstermeli, $e^x$'i gösterelim:

$e^x$'in limiti vardır.

Kanıt: 

$e^x=\lim\limits_{n\to\infty}\displaystyle\sum_{i=0}^n\dfrac{x^i}{i!}$  diye tanımlı olduğu biliniyor dolayısıyla bu serinin yakınsak olduğunu göstermeli, biliyoruz ki cauchy serileri yakınsaktır(ispat için tıklayınız) dolayısıyla bunun bir cauchy olduğunu göstermeli(bu serinin cauchy olduğunun ispatı için tıklayınız).

Dolayısıyla bu serimiz, bir yakınsak dizidir ve limiti vardır dolayısıyla $e^x$'nin de limiti vardır ve $e^y$'nin de vardır dolayısıyla $e^x.e^y$ çarpımının limiti varmış ve $e^{x+y}$'ye eşitmiş(reel sayılar üst olarak nasıl tanımlanıyor ilgili link için tıklayınız).

Comments

Söz konusu kitap sanırım, Ali Nesin in Analiz I kitabıdır.

O kitapda (veya başka kitap söz konusu olsa da söyleyeceğim şeylerin geçerli olduğunu sanıyorum)

(daha önce) $e^x$ in ve diğer üstel ifadelerin tanımı yapılmamış ve özelliklerinden  söz ediilmemiştir.

Dolayısıyla sanırım $\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)$ olduğu (o kitapda) ilk kez gösteriliyordur.

---

Üstel ifadelerin tanımı verilmiş ama sadece $u\in\mathbb Q \quad a^u$  cinsi ifadelerin verilmiş, reel sayılar üstel olarak nasıl tanımlanır verilmemiş ama sandviç teoremi gibi teoremler vasıtasıyla kanıtlayabiliriz sanırım çünki reel sayıların tüm aksıyomlarını bılıyoruz kabul edılıyor.

Peki reel sayıları üst olarak nasıl tanımlıyoruz?

---

Çoğu zaman, 

önce üstel fonksiyon ($\exp(x)=e^x$) ve doğal logaritma ($\ln x$) tanımlanır. Daha sonra da:

($a>0$ ve $b\in\mathbb{R}$ için) $a^b=\exp(b\ln a)=e^{b\ln a}$ olarak tanımlanır.

Başka şekilerde de, örneğin dizilerin limiti  olarak ($b_n\to b,\ b_n\in\mathbb{Q})$ alıp $a^b=\lim a^{b_n}$ olarak da tanımlamak mümkün.

Answer 1

Bunu ispatlamak için Cauchy Çarpımını kullanacagız.

Binom açılımı(Hatırlatmak için): $$\boxed{\boxed{(x+y)^k=\displaystyle\sum_{j=0}^k\dbinom{k}{j}x^j y^{k-j}}}$$

$\left(\displaystyle\sum a_n\right)\left(\displaystyle\sum b_m\right)=\displaystyle\sum c_k\tag1$

$$c_k=\sum_{m+n=k}a_n b_m=\displaystyle\sum_{n=0}^k a_n b_{k-n}\tag2$$

$$a_n=\dfrac{x^n}{n!},\quad b_m=\dfrac{y^m}{m!}$$

$(2)$'yi uygulayıp düzenlersek;

$$c_k=\displaystyle\sum_{n=0}^k\dfrac{x^ny^{k-n}}{n!(k-n)!}=\displaystyle\sum_{n=0}^k\dfrac{x^ny^{k-n}}{n!(k-n)!}\dfrac{k!}{k!}=\dfrac1{k!}\displaystyle\sum_{n=0}^k\dfrac{k! }{n!(k-n)!}x^ny^{k-n}=\dfrac{(x+y)^k}{k!}\tag3$$  

$(1),(2),(3)$ birlikte düşünülürse;

$$e^xe^y=\left(\displaystyle\sum \dfrac{x^n}{n!}\right)\left(\displaystyle\sum  \dfrac{y^n}{n!}\right)=\displaystyle\sum c_k=\displaystyle\sum\left(\displaystyle\sum_{n=0}^k\dfrac{x^ny^{k-n}}{n!(k-n)!}\right)=\displaystyle\sum\dfrac{(x+y)^k}{k!}=e^{x+y}$$
$$Q.E.D.\Box.$$