olasılık sorusu

Question

a kutusunda 4 beyaz, 3 mavi, b kutusunda 6 beyaz, 2 mavi bilye vardır. a kutusundan2 bilye alınarak bkutusuna atılıyor. sonra b kutusundan 2 bilye alındığında  alınan bu bilyelerin ikisinide mavi olma olasılığı nedir?

Comments

Site kurallarını okumuyorsunuz sanırım.

---

Cevabı bulmak için neleri denediğini yazarsan iyi olur.

Aksi takdirde buraya yazağım cevabın gizlenme olasılığı çok yüksektir.

Bu nedenle soruna cevap vermek istediğim halde çözüm yolunu yazamadım.

---

Bütün olasıları düşünerek, önce a torbasından 2tane mavi alarak, sonra a torbasından 2 beyaz alarak, sonra a torbasından bir mavi bir beyaz alarak hesapladım. Sonucu 1/21 buldum. Ama yanlışmış.

---

B=beyaz, M=mavi  bilye olsun

1)   a  kutusundan BB alınırsa, b kutusunda 8B+2M=10 bilye olur. 

b kutusundan 2 Mavi bilye çekme olasılığı 

$=\frac{2}{10}.\frac{2-1}{10-1}=\frac{1}{45}$

2)  a kutusundan MM alınırsa, b kutusunda 6B+4M=10 bilye olur

b kutusundan 2 Mavi bilye çekme olasılığı 

$=\frac{4}{10}.\frac{4-1}{10-1}=\frac{2}{15}$

3)  a kutusundan BM  alınırsa, b kutusunda 7B+3M =10 olur.

b kutusundan 2 Mavi bilye çekme olasılığı 

$=\frac{3}{10}.\frac{3-1}{10-1}=\frac{1}{15}$

Bu üç olasılığın toplamı seçeneklerde var mı?

Yani cevap 2/9 mu?

---

Sorun 4/63 cevabı. Bir türlü bulamadık

---

Hangisi doğru, 3 farklı sonuç var?

---

Diyelim ki $a$kutusunda 3 top, $b$kutusunda 2 top olsun. $a$kutusunda 2 mavi 1 beyaz, $b $kutusunda 1 mavi 1 beyaz olsun...

$a $kutusundan bir top çekelim, $b$kutusuna yerleştirelim, $b$kutusundan 1 top çekilirse mavi olma olasılığı nedir?

A,B,C $a$ kutusunda olsun ve A,B mavi olsun,C beyaz; $b$ kutusu, D,E, D mavi, E beyaz.

Tüm olasılıklar, $(A,D,E) gelebilir, ( B,D,E) ve son olarak (C,D,E) $bu da $5/9$ yapar.

Yukarıdaki yönteme (suitable'ın) göre ise,$a$ kutusundan alınan top beyaz ise, $1/3$ ve mavi ise, $2/3$ olasılıklarının toplamı ile 1 yapar.

Bir başka deyişle, $9/9$, toplam 9 durum var zaten, $a$ permutasyon ve $b$ permutasyon çarpımı.Yâni, sanki hepsi mavi de çekilen top mavi çıkacak kesinlikle...

Yukarıdaki yöntem ile bulunan sonuç mantıksız olduğuna göre, o yöntem yanlıştır. 

Suitable'ın atladığı kısım şudur: $a$ kutusundan alınan topun olasılığına bakmamıştır, sadece topu almış, $b$ kutusuna koymuş, iyi de o topu hangi olasılıkla $b$ kutusuna koyuyorsunuz diye sorarlar? $a$ kutusundan mavi top ile beyaz topu çekme olasılığı aynı mı ki, onu alıp $b$ kutusuna yerleştiriyorsunuz? 

BB, BM ve MM denmiş, benim küçük problemimde bu, B ve M oluyor. Her halde anlaşılmıştır.

Benim öğrencilere tavsiyem, bir problemi küçük probleme dönüştürüp yukarıda yaptığım gibi, yöntemi test etmektir. Mantık ile çelişmeyen bir sonuç olmalı, tüm toplar mavi olmadığına göre yöntemin geçersizliği gösterilmiştir.

Şimdi gelelim, sizin sorunuzun yanıtına, alttaki çözüm (cevap bölümüne girilen çözüm) yanlıştır.

Aslında, yukarıda benim uyguladığım yöntemi uygularsanız orijinal soru için, payda da 3780 sayısını payda ise, 240 yanıtını görürsünüz. Bu da şu şekilde bulunur.

BB= $4/7*3/6*2/10*1/9$

BM=$4/7*3/6*3/10*2/9$

MB=$3/7*4/6*3/10*2/9$

MM=$3/7*2/6*4/10*3/9$

Önce basitini düşünürsünüz, tüm uzaya bakarsınız, benim ilk örneğimde olduğu gibi... Bakınız, ilk örneğimde önce uzayı çıkarttım.

Şimdi, bu üstteki yönteme göre ise,

$2/3*2/3+1/3*1/3=5/9$ teyit edilir. B ve M olmasına göre...

Umarım anlaşılmıştır... Matematik Bölümü mezunu değilim, ama sanırım buradaki konunun uzmanları bu çözümü destekleyeceklerdir...

Bilgisayar Mühendisi olarak düşündüğümde ise, ağaç diyagramları ile çabucak çözüme ulaşırım, ancak burası için gereksizdir, tekniktir. 

---

Sayın suitable2015,

İlk torbadan çekilme olasılıkları da dikkate alınmalıydı.

Answer 1

BB= $\frac{4}{7}.\frac{3}{6}.\frac{2}{10}.\frac{1}{9}$

BM= $\frac{4}{7}.\frac{3}{6}.\frac{3}{10}.\frac{2}{9}$

MB=$\frac{4}{7}.\frac{3}{6}.\frac{3}{10}.\frac{2}{9}$

MM=$\frac{3}{7}.\frac{2}{6}.\frac{4}{10}.\frac{3}{9}$

Sonuç, $BB+BM+MB+MM$=$\frac{240}{3780}$=$\frac{4}{63}$

Yorum bölümünde, gerekli analiz mevcuttur. Dikkat edilmesi gereken, $a$ kutusundan topların çekilme olasılığının da dikkat edilmesi gerektiğidir.

Ben yine de BB'nin nasıl bulunduğunu kısaca anlatayım: 

$a$ kutusundan B ve B şeçme olasılığı, $\frac{4}{7}$*$\frac{3}{6}$ ve bu durumda b kutusunda sadece beyazların sayısı arttı, maviler aynı kaldı. İki topun da mavi olma olasılığı a'dan gelen olasılık ile $b$ kutusundan gelen olasılığın çarpımına eşittir. b kutusundaki olasılık, $\frac{2}{10}*\frac{1}{9}$ dur, $a$'dan gelen olasılık ile çarpılmalıdır.

Diğer BM,MB ve MM'de buna göre yapılır ve dördü toplanır.

Comments

teşekkür ederim.

Answer 2

İlk torbadan 2 beyaz, 2 mavi ya da bir mavi bir beyaz top alınıp karşı tarafa atılabilir.

$\frac{4}{7}.\frac{3}{6}$ ihtimalle her iki topta beyaz gelir.Bir de diğer torbada 8 beyaz 2 mavi olduğuna göre $\frac{2}{10}$ olur.O zaman ilk durum ihtimali $\frac{4}{7}.\frac{3}{6}.\frac{2}{10}$ gelir.

Aynı mantıkla 2 mavili durumda $\frac{3}{7}.\frac{2}{6}.\frac{4}{10}$ gelir.Yine aynı mantıkla 1 mavi bir beyaz durumunu hesaplarsak $\frac{4}{7}.\frac{3}{6}.\frac{3}{10}$ gelir.

Bunların hepsini toplarsak $\frac{4}{7}.\frac{3}{6}.\frac{2}{10}+\frac{3}{7}.\frac{2}{6}.\frac{4}{10}+\frac{4}{7}.\frac{3}{6}.\frac{3}{10}=\frac{1}{5}$ gelir.