$\dfrac{x^2+1}{x^3-x}$ 'in $x$'e göre $100.$ türevi nedir?

Question

Genel olarak $f,g\quad x$'e bağlı türevlenebilen polinom fonksıyonlarsa $f.g$'nin $n.$ türevi nedir?

Aşamalı bir yöntemim var, polinomların ayrık türevlerini formulüze ederek bulunuyor, farklı nasıl bulunabilir diye sormak istedim.

Yöntem, şartları vs eksık olmasına ragmen başlangıç olarak şöyle:

$$\dfrac{d^n(x^k)}{dx^n}=\dfrac{k!}{(k-n)!}x^{k-n}\tag1$$

Kuralı neticesinde,

$$f=\displaystyle\sum_{i=0}^ka_ix^i \quad ve\quad g=\displaystyle\sum_{i=0}^m b_ix^i \tag2$$

diye tanımlayalım,

$$\dfrac{d^n(f)}{dx^n}=\displaystyle\sum_{i=0}^ka_i\dfrac{i!}{(i-n)!}x^{i-n}\quad ve\quad \dfrac{d^n(g)}{dx^n}=\displaystyle\sum_{i=0}^m b_i\dfrac{i!}{(i-n)!}x^{i-n}\tag3$$

olurlar,Leibniz kuralı diye adlandırılan, binomal açılıma benzeyen(kendiniz deneyerek bulabilirsiniz) kuralından,

$$\dfrac{d^n(f.g)}{dx^n}=\displaystyle\sum_{h=0}^n\dfrac{d^{n-h}(f)}{dx^{n-h}}\dfrac{d^h (g)}{dx^h}$$

gelir.

Comments

Ifadeyi $$-\frac1x+\frac1{x-1}+\frac{1}{x+1}$$ olarak yazarsak kolaycana turevlerini bulabiliriz.