Fizik hesaplarını yaparken takıldığım çift katlı integral çıkarımı.$\displaystyle\int a.b\;da\;db$ bu integral; $\displaystyle\int b\left(\int a\;da\right)db$diye ayrılır mı?

Question

http://matkafasi.com/103577/yorungelerde-gezegenlerin-kutlecekimi-genellestiriniz

$$\overrightarrow a(t)=\overrightarrow v(t)\dfrac{\omega''(t)t+2\omega'(t)}{\omega'(t)t+\omega(t)}-(\omega'(t)+\omega(t))^2\overrightarrow r(t)$$

Buradaki cevabımdaki diferansiyel denklemi anlamak için, keplerin eşit zamanda eşit alan taranır ilkesini kullanmak istedim ve bunun için,

http://matkafasi.com/101502/tegetleri-ilgili-tegetlere-dogrularin-kesisiminin-geometrik

buradaki gibi elips mekanigini çözmek istedim ve odaktan çevreye uzanan yarıçap vektörlerinin taradıkları alanı hesaplamak için polar koordinatlı ıntegrallerı kullandım, anlatayım(özet):

Soldaki şekil için alan hesaplamaya kalkarsak;

$A=\dfrac{\theta}{2\pi}\pi r^2=\dfrac12r^2\theta$

Bu alanı sonsuz küçültüp tüm fonksiyon boyunca toplarsak;

$$\lim\limits_{n\to\infty}\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac12[f(\theta)]^2\triangle \theta=\int_{\theta_0}^{\theta_1}\dfrac12[f(\theta)]^2d\theta$$

Olur dolayısıyla $\theta=\omega(t)t$ ise ve $\left(r(t)\right)'=v(t)$  ise;

Kısmi integrasyon ile

$$\int\dfrac12\left(r\left(\frac{\theta}{\omega}\right)\right)^2d\theta=\dfrac12\theta\left(r\left(\frac{\theta}{\omega}\right)\right)^2-\int \left(r\left(\frac{\theta}{\omega}\right)\right)\dfrac{\left(v\left(\frac{\theta}{\omega}\right)\right)}{\omega}\theta d\theta$$


Soru 1:

$$\int a.b\;da\;db$$  bu integral; $$\int b\left(\int a\;da\right)db$$ veya $$\int a\left(\int b\;db\right)da$$
diye ayrılır mı?

Soru 2: Dirtdörtgenlerle topladıgımız alan integrali, polar koordinatlara geçince doğru sonuç verir mi? Nasıl genelleştirip ispatlarız?


Soru 3: Sınırları görelim diye sorunun orjinalını eklıyorum;

$\vdots$
Kısmi integrasyon ile

$$\int^{\omega(t_1)t_1}_{\omega(t_0)t_0}\dfrac12\left(\overrightarrow r\left(\frac{\theta}{\omega(t)}\right)\right)^2d\theta=\dfrac12\theta\left(\overrightarrow r\left(\frac{\theta}{\omega(t)}\right)\right)^2-\int^{\omega(t_1)t_1}_{\omega(t_0)t_0}\left(\overrightarrow r\left(\frac{\theta}{\omega(t)}\right)\right)\dfrac{\left(v\left(\frac{\theta}{\omega(t)}\right)\right)}{\omega(t)}\theta d\theta$$

Burada;

$$\int^{\omega(t_1)t_1}_{\omega(t_0)t_0}\left(\overrightarrow r\left(\frac{\theta}{\omega(t)}\right)\right)\dfrac{\left(v\left(\frac{\theta}{\omega(t)}\right)\right)}{\omega(t)}\theta d\theta$$

Bu integral, soru 1 deki gibi nasıl ayrılır?

Comments

Fubini teoremine bak 

---

Soruları güncelledim bu arada :)