$$\displaystyle\int\sqrt{a^2+x^2}dx$$ integralini hesaplayınız.

Question

$a\in\mathbb{R}$ olduğuna göre verilen integrali hesaplayınız.

Answer 1

$$x=asinht$$ dönüşümü uygularsak, $$dx=acosht.dt$$ olur. $$\int\sqrt{a^2+a^2sinh^2t}.cosht.dt$$

$$=a.|a|\int cosh^2t.dt=a|a|\int \frac 12(cosh2t+1)dt$$

$$=\frac{a.|a|}{2}(\frac12 sinh2t+t)+c$$ olacaktır. $$t=sinh^{-1}(\frac xa)$$ ve 

$$\frac 12sinh2t=sinht.cosht=sinht.\sqrt{sinh^2t+1}=\frac xa.\sqrt{\frac{x^2}{a^2}+1}=\frac{x}{a.|a|}.\sqrt{a^2+x^2}$$ olduğundan,

$$\int\sqrt{a^2+x^2}dx=\frac{a.|a|}{2}\big[\frac{x}{a.|a|}\sqrt{a^2+x^2}+sinh^{-1}(\frac xa)\big]+c$$

$$=\frac{x}{2}\sqrt{a^2+x^2}+\frac{a.|a|}{2}sinh^{-1}(\frac xa)+c$$ olur.

Answer 2

$$I=\displaystyle\int\sqrt{a^2+x^2}dx$$

olduğundan $x=atanu$ seçelim dolayısıyla $dx=asec^2udu$ olur

$$I=\displaystyle\int\sqrt{a^2+x^2}dx=|a|a\displaystyle\int\sqrt{1+tan^2u}sec^2u\;du=|a|a\int |secu|sec^2udu$$

$secu\ge0$ için çözelim çözdükten sonra $secu<0$ iken tüm integralin negativi oluyor zaten.$(I_{\ge 0}=-I_{< 0})$

O zaman integralimiz;

$$I_{\ge 0}=|a|a\int \sec^3udu$$

$(tan^2u+1=sec^2u)$ olduğundan

$$A=\int \sec^3udu=\tan u \sec u-\int \tan^2u\sec u du$$ $$=$$ $$\tan u \sec u-\int(\sec^2u-1)\sec u du=\tan u\sec u-\int( \sec^3 u-\sec u)du$$

olur ve 

$$\displaystyle\int\sec udu=ln|secu+tanu|+C$$ olduğundan

$$\boxed{\displaystyle\int sec^3udu=\dfrac{secu\;tanu+ln|secu+tanu|}{2}+C}$$
 

olur.

$$I_{\ge 0}=|a|a\int \sec^3udu=|a|a\dfrac{secu\;tanu+ln|secu+tanu|}{2}+C$$ $$=$$ $$|a|a\dfrac{\frac{x\sqrt{a^2+x^2}}{a^2}+ln\left|\frac{\sqrt{a^2+x^2}+x}{a}\right|}{2}+C$$

Daha temiz olarak;

$$I_{\ge 0}=|a|\dfrac{x\sqrt{a^2+x^2}}{2a}+|a|a\dfrac{ln\left|\frac{\sqrt{a^2+x^2}+x}{a}\right|}{2}+C$$