$\forall r\in(-1,1)$ olsun, $$\lim\limits_{n\to \infty}\left(r+\dfrac1n\right)^n=0$$ olduğunu isplatlayınız.

Question

Denemecik 1: 

$\epsilon>0$ olsun ve $n\ge N\in\mathbb N$ iken 

$$\left|\left(r+\dfrac1n\right)^n-0\right|<\epsilon'\tag1$$

sağlanır ise ispatlanır.


$$\left|\left(r+\dfrac1n\right)^n-0\right|<\epsilon$$ ve $$n\ge N_u \quad için\quad |1/n-0|<\epsilon''\tag2$$ olduğu biliniyorsa.

$$|r|<\left|\left(r+\dfrac1n\right)\right|\le \sqrt[n]{\epsilon'}=\epsilon$$

Dolayısıyla aranan ifade $\lim\limits_{n\to \infty}(|r|)^n$ olur ve bu da "(2)" gereği $0$ a yakınsar."http://matkafasi.com/99941/lim_-to-infty-frac-0%24-oldugunu-epsilon-deltayla-gosterelim"

Denemecik 2:

Parantez içine direkt olarak limiti atarsak;

$$\lim\limits_{n\to \infty}\left(r+\dfrac1n\right)^n=\left(\lim\limits_{n\to \infty}r+\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac1n\right)^{\lim\limits_{n\to \infty}n}=\left(r\right)^{\lim\limits_{n\to \infty}n}$$

Ama buradaki sorun, limiti içeri ve yukarı nasıl atıyoruz koşullar nelerdir?

Çözüm için önerileriniz nelerdir?

Comments

kolay bir soru ama ispat yontemlerini en iyi sekilde ogrenmek istiyorum

Answer 1

ilk olarak $n\ge 1$ icin  $$\left|r+\frac1n\right| \le |r|+\frac{1}{n}$$ her zaman saglanir. Bir $N$ degeri bulabiliriz ki $n>N$ oldugunda   $$|r|+\frac1n<|r|+\frac1N<1$$ saglanir. (Bunu kolaycana gosterebiliriz.) $$|r|+\frac1N :=c$$ olarak tanimlayalim. Elimizde $n>N$ icin $$0 \le \left|\left(r+\frac1n\right)^n\right| \le c^n$$ olur.  $$\lim\limits_{n\to \infty} 0= \lim\limits_{n \to \infty} c^n=0$$ oldugundan, sikistirma teoremi geregi, $$\lim\limits_{n\to \infty} \left|\left(r+\frac1n\right)^n\right|=0$$ olur ve dolayisiyla $$\lim\limits_{n\to \infty} \left(r+\frac1n\right)^n=0$$ olur. (mutlak degeri sifira giden bir dizinin kendisi de sifira gider).

Comments

Sondan üçüncü işlemde bir sıkıntı var limitin içi 0 degil

---

sol ve sag fonksiyon limiti sifira esit manasinda.

---

c yi 0 a goturup n. kuvvetını de 0 a goturcegını sandım, tamamdır.