$x^3$ fonksiyonunun sürekli olduğunu kanıtlayınız.

Question

$f(x)=x^3$    kuralıyla tanımlamış $\mathbb R$'den $\mathbb R$'ye giden $f$ fonksiyonunun sürekli olduğunu kanıtlayınız.

Comments

İpucu:  $$g(x)=x$$ kuralı ile verilen $$g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$ fonksiyonu sürekli, sürekli fonksiyonların çarpımı sürekli ve $$f(x)=g(x)\cdot g(x)\cdot g(x)$$

---

Teşekkür ediyorum fakat epsilon- delta üzerinden ispatlayabilirsek daha makbule geçecek :)

---

Sen neler denediğini ve nerede takıldığını eklersen seve seve yardımcı oluruz.

---

|$x^3$-$a^3$| açılımında ($x^2+ax+a^2$) kısmı ile ne yapacağımı bilemedim.

$|(x-a)+a|$ üzerinden mi gitsem yoksa $|x-a|^2+3ax$ gibi bir şey mi yapsam, yapmasam mı...

---

$a=0$ için $f$ fonksiyonunun sürekli olduğunu gösterdin mi?

---

Göstermedim. Aslında $a=1$ için sürekli olduğunu göstermeyi düşündüm fakat sonra vazgeçtim her noktadaki sürekliliği arıyoruz sonuçta diye:/ ama sanırım $a=0$ için göstermeliymişim :/ 

---

Muhtemelen çok uzattım fakat;

$a=0$ için $x=\delta/2$ , $\epsilon=1$ ve $0<\delta\leq1$seçersek,

$|x-a|=\delta/2<\delta$

$|f(x)-f(a)|=|x^3-0|=\delta^3/8<\epsilon$

sonra,

$\delta=|a|/2$ seçip

$|x-a|<\delta$

$-\delta+a<x<\delta+a$

buradan,

$a<0$ ise

$-|a|/2+a<x<|a|/2+a$

$3a/2<x<a/2<0$

$a>0$ ise

$0<a/2<x<3a/2$

$x=a$ seçersek

$|f(x)-f(a)|=x^3-a^3=0<\epsilon$

desem ne düşünürsünüz?

Answer 1

$|x-a|<\delta$            olsun.......(1)

$|x|<\delta+a$              olur......(2)

$|f(x)-f(a)|=|x^3-a^3|=|(x-a)(x^2+ax+a^2)|$

$=|x-a||(x-a)^2+3ax|\le|x-a|(|x-a|^2+3|a||x|)\le\delta(\delta^2+3|a|(\delta+|a|))\le\delta^3+3|a|\delta^2+3|a|^2\delta<\epsilon$

$\delta=\min\{1,(|a|^3+\epsilon)^{1/3}-|a|)\}$  olarak sec..

Comments

$|x-a|<\delta$ seçiyor isek;

$|x|<\delta$ her zaman doğru olmaz;


$|x-a|<\delta\quad\Rightarrow\quad -\delta+a<x<\delta+a$


ve buna rağmen $|x|<\delta\quad\Rightarrow\quad -\delta<x<\delta$ demek, grafiği kaydırsak da x'in o aralıkda oldugunu söyler ki bu durum istisnalar haricinde genelde yanlıştır.