$\displaystyle \int \sqrt{b^2 \sin^2 u+a^2 \cos^2 u} du$ integralini çözelim

Question

Bu sorudaki integralde $x=a\cos u$ dönüşümü yapınca çıkıyor bu integral. Üzerinde düşünmeme rağmen ilerleme kaydedemedim halen.

Answer 1

$$a>b \,\ \text{ ve } \,\ k^2=1-\left(\frac{b}{a}\right)^2$$ olmak üzere

$$\int\sqrt{b^2\sin^2 u+a^2\cos^2u}du$$

$$=$$

$$\int\sqrt{b^2\sin^2u+a^2(1-\sin^2u)}du$$

$$=$$

$$\int\sqrt{a^2-(a^2-b^2)\sin^2u)}du$$

$$=$$

$$a\int\sqrt{1-\left( \underset{k^2}{\underbrace{1-\left(\frac{b}{a}\right)^2}}\right) \sin^2u}du$$

$$=$$

$$a\int\sqrt{1-k^2\sin^2u}du$$

Bu da ikinci tip eliptik integral. Bunu bilinen elemanter fonksiyonlar cinsinden integre edemezsin.

Comments

Burada iki tür eliptik integrallere dair bazı bilgiler mevcut.