$\displaystyle \sum^\infty_{n=0} \frac{sin^{2n}x}{2n+1}$ serisinin yakınsadığı değeri bulalım

Question

$x$, $\left(\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{2} \right)$ açık aralığında olmak üzere,

$\displaystyle \sum^\infty_{n=0} \frac{sin^{2n}x}{2n+1}$ serisinin yakınsadığı değeri bulalım

Ben bunu buldum. Ama açıkçası daha matematiksel bir yol arıyorum. Yönlendirme olmasın diye şimdilik çözümümü yazmıyorum.

Answer 1

Ilk olarak $\sin x=\pm1$ oldugunda bu seri yakinsamaz. 

$|a|<1$ olsun. Bu durumda $$\sum_{n=0}^\infty a^{2n+1}=a\sum_{n=0}^\infty a^{2n}=a\sum_{n=0}^\infty (a^2)^{n}=a\frac{1}{1-a^2}=\frac{a}{1-a^2}$$ olur. Geometrik serilerin turevini toplam icerisine atabiliriz (mi?). Bu durumda $$\frac{d}{da}\sum_{n=0}^\infty a^{2n+1}=\sum_{n=0}^\infty \frac d{da}\left(a^{2n+1}\right)=\sum_{n=0}^\infty (2n+1)a^{2n}$$ olur. Bu deger de $$\frac{d}{da}\left(\frac{a}{1-a^2}\right)$$ degerine esit.

$a=\sin x$ degeri icin $$\sum_{n=0}^\infty (2n+1)\sin^{2n}x$$  degerini bulabiliriz. Turev yerine integral alarak da istedigimiz sonuca ulasabiliriz.

Comments

$\displaystyle \frac{d}{da}(a^{2n+1})=\frac{a^{2n}}{2n+1}$ mi?

Ama evet, dediğiniz aralık kısıtlaması doğru, çözerken dikkat etmiştim ama yazarken dikkat etmemişim, düzeltiyorum.

---

Evet, turev-integral karmasasi olmus. 

---

Ben de böyle çözdüm, başka çözüm yolu var mıdır? En rahat yol bu mudur?

---

Bana gore bu. Senin baska bir cozum bulup paylasman gerekli artik. 

---

Ne demek başka çözüm bulmam gerek :( Benim yolumdan siz çözdünüz ama napayım ki ben şimdi :)

---

O zaman site kurallarana uymamis olur sorun. Bir cevap paylasacaksin artik, o vaadlerle cozdum ben bu soruyu. Bundan sonra boyle bir soru paylasirsan yonetim olarak direkt kaldiririz o zaman ;)

---

Admin bey öğrenmeye teşvik amaçlı tehditte bulundu sanırım :)

---

Geometrik serilerin turevini toplam icerisine atabiliriz (mi?).

Bunu nerden bılıyoruz kı? Bu cevap tam dogru degıl.

---

Bu soruyu da sen cevapla Anil?

---

toplam sembolu her genel terımı ayrık toplamlar şeklınde yazdıgından ve turev toplamaya dagılmalı oldugundan bu eşıtlık geçerlidir.

---

ayrik toplamlar? 

yani sunu mu diyorsun, her zaman degistirebiliriz?

---

genel terim $a_n$ için ; $\lim\limits_{h\to0}\dfrac{a_{(n+h)}-a_n}{h}$ limitinin var olması gerek.

---

$a_{n+h}$ derken? Dizide  gercel yaklasim mi?

---

evet ;)