Çok değişkenli fonksiyonlarda maximum ve minimum sorusu.

Question

Teşekkürler. $F(x,y)= x^2 - y^2$ fonksiyonunun $x^2+y^2= 1$ kümesi uzerindeki mAX ve min noktaları bulunuz hesaplayınız

Answer 1

$$F(x,y)=x^2-y^2$$ kuralı ile verilen $$F:\{(x,y)\mid x^2+y^2=1, (x,y)\in \mathbb{R}^2 \}\longrightarrow \mathbb{R}$$ fonksiyonunun grafiği semer eğrisidir. Her ne kadar $(0,0)$ noktasındaki kısmi türevler sıfır olsa da $(0,0)$ noktasında yerel minimum ya da yerel maksimum yoktur. Ayrıca bu fonksiyon minimum değerlerini $A(0,-1)$ ve $B(0,1)$ noktalarında; maksimum değerlerini de $C(-1,0)$ ve $D(1,0)$ alır. (Neden? Bunu biraz düşünmenizi tavsiye ederim.) 

Ayrıca $A$ ile $B$ noktalarında aldığı değer  $$F(0,-1)=F(0,1)=-1$$ ve $C$ ile $D$ noktalarında aldığı değer $$F(-1,0)=F(1,0)=1$$ olacaktır.

Comments

Hocam çemberi fonksiyona entegre ettim. Yani kisitlayici faktör olan çemberii önce x e göre çözdüm fonksiyonda yerine koydum x e göre türev aldım. Sonra y ye göre çözdüm tekrar yerine koydum y ye göre türev aldım. En son fonksiyonunun kendi ektektremumu olan 0,0 i da buldum. Sonuç olarakk 0,1 0,-1    1,0  -1,0 ve 0,0 buldum. Ama anlamadigim nokta niye bide y ye göre çözüyoruz

---

Birim çemberi $x=\cos t,\ y=\sin t$ şeklinde parametrize ederek, bir değişkenli fonksiyonun maksimum ve minimumunu bulmaya dönüştürebilirsiniz.

Answer 2

Lagrange Carpani ile cozelim.

 

$f(x,y)=x^2-y^2$

 

$g(x,y)=x^2+y^2-1$

_______________________________________
 

$\mathcal{L}(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda g(x,y)$

 

$\mathcal{L}(x,y,\lambda)=x^2-y^2-\lambda(x^2+y^2-1)$

 

$\begin{array}{lr}   \dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial x}=2x-2\lambda x=0&&&&&(1 )  \\ \\ \dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial y}=-2y-2\lambda y=0 &&&&& (2) \\\\ \dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial \lambda}=x^2+y^2-1=0&&&&& (3) \end{array}$

 

$\begin{array}{lr} (1) \quad x(1-\lambda)=0\implies x=0\quad\text{veya}\quad \lambda=1&  \\ \\ (2) \quad y(1+\lambda)=0\implies y=0\quad\text{veya}\quad \lambda=-1 \end{array}$

 

$(3)$'den  $x=0\implies y=\mp1,\quad (0,1), (0,-1)$ ekstremum noktalari.

 

$(3)$'den $y=0\implies x=\mp1,\quad (1,0),(-1,0)$ ekstremum noktalari.

 

Bu noktalari fonksiyonda yerine yazalim.

 

$f(0,1)=0^2-1^2=-1$ min noktasi

 

$f(0,-1)=0^2-(-1)^2=-1$ min noktasi

 

$f(1,0)=1^2-0^2=1$ max noktasi

 

$f(-1,0)=(-1)^2-0^2=1$ max noktasi

 $(x,y)=(0,0)$ semer noktasidir ve $(3).$ denklemi saglamaz.

 

 

Answer 3

Fonksiyonu $x^2+y^2=1$ noktalarına kısıtlarsak $F(x,y)=2x^2-1$ olur. Bu kısıtlamada $0\le x^2\le 1$ sağlandığından minimum değerini $(0,\pm1)$ noktalarında $-1$ olarak ve maksimum değerini $(\pm1,0)$ noktalarında $1$ olarak alır.

Ayrıca Doğan Dönmez'in dediği gibi fonksiyonu trigonometrik parametrize ile $$H(\theta)=F(x,y)=\cos^2\theta-\sin^2\theta=\cos 2\theta$$ olarak görmek de mümkün.