$\pi^2>2^\pi$ için verilen ipuçlarını kullanarak ispat edelim, ayrıca bu mantıklarla $\pi^3< 3^\pi$ olduğunu gösterelim.

Question

Metod 1'in İpucu:

$x^{1/x}$ fonksiyonunun maximum noktası bulunup, $1/\pi$  ve  $1/2$ için  fonksiyonun nasıl bir rota izlediği analiz edilebilinir.


Metod 2'nin İpucu : 

$\dfrac{\ln{\pi}}{\pi}>\dfrac{\ln{2}}{2}$   bu lemma ispatlandıktan sonra küçük bir oynama yaparak ve $\dfrac{ln2}{2}=\dfrac{ln4}{4}$  durumu kullanılarak ispatlanır. 


Metod 3(sıkıcı metod):

$9>2^\pi$  olduğunu ispatlarsak iş çözülür çünki;

$\pi^2>3^2=9$  olur.

Sıkıcı dedim çünki şunu bilmeliyiz;

$\dfrac{9}{8}=1.125$

$2^{0.16}=1,1172871380722199666109906352025$

$\dfrac{9}{8}>2^{0.16}$   ve  buradan $\pi^2>3^2>2^{3.16}>2^\pi$

ve ispatlanır.$\Box$

Metod 4:

$3<\pi<\dfrac{22}{7}$   olduğunu biliyoruz.

Ve şunları bilmeliyiz;

$2^{11}=2048<2187=3^7\quad\to\quad 2^{\left(\frac{22}{7}\right)}<3^2$

Dolayısıyla sonuçları birleştirirsek;

$\boxed{2^3<2^\pi<2^{\left(\frac{22}{7}\right)}<3^2<\pi^2}$

$\boxed{\boxed{2^\pi<\pi^2}}$

Comments

$$f(x)=\pi ^x-x^{\pi}$$ kuralı ile verilen $f$ fonksiyonunun artan olduğunu göstermek yeterli olacaktır.

---

Bilgi için teşekkür ederim.