Bu sayilarin icerisinde
3 carpani icerenler
6k+3 cinsinden olur.
3'e tam bolunen (
6 ardil)
\frac{99-3}{6}+1=17 sayi.
9'a tam bolunen (
18 ardil)
\frac{99-9}{18}+1=6 sayi ve
27'ye tam bolunen (
54 ardil)
\frac{81-27}{54}+1=2 ve
81'e bolunen (
162 ardil)
\frac{81-81}{162}+1=1 sayi var.
Simdi bunu formulize edersek (
bu sorudaki gibi) toplamimiz, yani
1\cdot 3\cdots (2n+1) icersindeki
3 carpani sayisi
k+\sum\limits_{m =1}^k \bigg\lfloor \frac {2n+1-3^m}{2\cdot3^m} \bigg\rfloor=k+\sum\limits_{m =1}^k \bigg\lfloor \frac {2n+1}{2\cdot3^m}-\frac12 \bigg\rfloor olur (burada
k dedigimiz
3^k \le 2n+1 <3^{k+1} sartini saglayan ilk tam sayi).
p\ne2 asal sayisi icin
1\cdot 3\cdots (2n+1) icersindeki
p carpani sayisi
k+\sum\limits_{m =1}^k \bigg\lfloor \frac {2n+1-p^m}{2\cdot p^m} \bigg\rfloor=k+\sum\limits_{m =1}^k \bigg\lfloor \frac {2n+1}{2\cdot p^m}-\frac12 \bigg\rfloor olur (burada
k dedigimiz
p^k \le 2n+1 <p^{k+1} sartini saglayan ilk tam sayi).
l baska bir asal sayi olsun. (
p\ne l).
1\cdot(1+l)\cdots (1+n\cdot l)carpimi icerisndeki
p carpani sayisi
k+\sum\limits_{m =1}^k \bigg\lfloor \frac {l\cdot n+1-p^m}{l\cdot p^m} \bigg\rfloor=k+\sum\limits_{m =1}^k \bigg\lfloor \frac {l\cdot n+1}{l\cdot p^m}-\frac1l \bigg\rfloor olur (burada
k dedigimiz
p^k \le l\cdot n+1 <p^{k+1} sartini saglayan ilk tam sayi).
l asal degil de
p ile aralarinda asal olsa bile yukaridaki esitlik yine saglanir:
1\cdot(1+l)\cdots (1+n\cdot l)carpimi icerisndeki
p carpani sayisi
k+\sum\limits_{m =1}^k \bigg\lfloor \frac {l\cdot n+1-p^m}{l\cdot p^m} \bigg\rfloor=k+\sum\limits_{m =1}^k \bigg\lfloor \frac {l\cdot n+1}{l\cdot p^m}-\frac1l \bigg\rfloor olur (burada
k dedigimiz
p^k \le l\cdot n+1 <p^{k+1} sartini saglayan ilk tam sayi).