$k$ pozitif tamsayısı için $p(k)$ sayısı $S_k$ içinde sabit noktası olmayan permütasyonların sayısı olsun. Bu durumda $$\sum_{a=0}^n\binom{n}{a}p(n-a)=n!$$eşitliğinin sağlandığını gösterin.
İpucu: $g\in S_n$ için $a(g)$, $g$'nin sabit bıraktığı noktalar sayısı olsun.
Safak Ozden hocam $p(0)=p(1)=0$, değil mi?
Sıfır elemanlı bir küme üzerindeki permütasyonların sayısı sıfır. O halde p(0)=0 olmalı. Diğeri de tanımdan çıkıyor. Evet haklısın yani.
Bence $p(0)=1$ olmalı.(Sanırım ispatta birim permütasyona karşı gelecek)
(Ek 1: http://matkafasi.com/4/%240-%24-neden-1e-esit den $0!=1$ )
Ek 2: $p(0)=0$ olsa, eşitlik $n=1$ için yanlış olur.
İpucu: $g\in S_n$ için $g$ nin $a$ tane sabit noktası varsa, $g$ yi $S_{n-a}$ nın sabit noktası olmayan bir elemanı olarak düşünebiliriz.
Tümevarımda ilk adım nedir?
Tümevarıma gerek yok. Simetrik grubun elemanlarını ayıklayacaksın.